Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

обеспечения по возможности лучшей разрешающей способно­ сти [различимости гипотез (6.1)] в условиях, когда мешающий сигнал проявляет себя наиболее неблагоприятным образом, следует стремиться к минимизации уровня ФН Т (к, км). Заметим, что используемое здесь определение ФН соответ­ ствует введенному в § 4.7 для модели сигнала со случайной фазой. Это объясняется принятым в (6.1) и справедливым для всех нетривиальных задач разрешения допущением о неопре­ деленности разности фаз разрешаемых сигналов.

Таким образом, качественный вывод, к которому привел анализ задачи разрешения— обнаружения, состоит в том, что показатели разрешения по псэнергетическому

решения двух сигналов, значения пеэнергетического пара­ метра которых отличаются на к. Следовательно, зависи­ мость качества разрешения от формы сигнала S(t; к) проявляется в «управлении» разрешающей способностью через уровень ФН Т (к).

К аналогичным выводам привело бы и рассмотрение более сложных статистических задач разрешения, а также детерминистический анализ разрешающей способности на основе рэлеевского критерия. В заключение отметим, что любое разрешение основывается па различиях расстроен­ ных на к копий сигнала. Следовательно, чем заметнее отличаются друг от друга эти копии, тем легче их разрешить. Мерой же отличия либо, наоборот, сходства двух копий сигнала, расстроенных по неэнергетическому параметру па к, а также по начальной фазе на непредска­ зуемое значение ср, служит ФН Т (к).

§6.3 . РАЗРЕШЕНИЕ ПО ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ СИГНАЛЫ

Вернемся к примеру, рассматривавшемуся в §6.1. Пусть скалярным параметром, по которому необходимо разре­ шать сигналы, служит время запаздывания. Согласно изложенному в § 6.2, качество разрешения двух копий сигнала s(G П;.Ф1)=Ке [^,(/-т1)ехр(72л/0/)ехр(Уф1)] и x(z; т2; ф2) = Яе [S(i —т2)ехр(у2л/01)ехр(/'ф2)] с временем запаздывания т,- и случайными начальными фазами <рь /=1,2, определяется уровнем ФН по времени запаздыва­ ния, введенной в § 5.2. Такая ФН стационарна и имеет вид

150

обычной нормированной корреляционной функции комп­

- 00

Следовательно, две копии сигнала, отличающиеся временем запаздывания на т, разрешаются тем успешнее, чем меньше уровень корреляционной функции комплексной огибающей при данном т.

В качестве меры разрешающей способности по т можно принять то минимальное расхождение тмин времен запазды­ вания двух копий сигнала, начиная с которого последние разрешаются удовлетворительно, причем в рамках статис­ тического подхода требуемое качество разрешения понима­ ется в смысле соответствия тех или иных статистических показателей (вероятностей ошибок при разрешении — обна­ ружении, дисперсий оценок при разрешении — измерении) предъявленным требованиям. Чем меньше тмин, тем более высокой следует признать разрешающую способность по времени запаздывания. С учетом связи разрешающей способности с корреляционными свойствами сигнала две копии последнего, отстоящие друг от друга по времени на т^тмии, будут приемлемо разрешаться, если корреляци­ онная функция комплексной огибающей сигнала при т>тмяя мала по абсолютному значению. Таким образом, налицо прямая связь между разрешающей способностью по вре­ мени запаздывания и протяженностью корреляционной функции комплексной огибающей сигнала в зависимости от переменной т: чем более сконцентрирована корреляци­ онная функция в окрестности г = 0, тем выше разрешающая способность, т. е. хорошо разрешаются по времени запаз­ дывания лишь сигналы, обладающие достаточно «корот­ кими» корреляционными функциями (т).

Дадим детерминистическое толкование этого вывода. Пусть прибором, реагирующим на суперпозицию сдвину­ тых по запаздыванию копий сигнала, служит Сф. С учетом того, что комплексная огибающая импульсного отклика СФ H0„T(t) = *S (Тс — г) (Тс — длительность сигнала),

151

действительная огибающая сигнала на выходе этого фильтра 8ВЫХ([), которую можно вычислить с помощью

- оо

повторит по форме сдвинутую на длительность сигнала ФН Ч'(т). Последняя описывает форму огибающей реакции СФ на сигнал, и потому протяженность 'Р(т) по т можно назвать и длительностью сигнала на выходе СФ (длитель­ ностью ФН или, что равносильно, корреляционной функции комплексной огибающей сигнала). При подаче на вход СФ суперпозиции двух копий сигнала, разделенных по времени интервалом, превышающим длительность ФН, на выходе СФ будут наблюдаться два отчетливых ма­ ксимума, соответствующих каждой из входных копий. Если же разность времен запаздывания копий меньше длительности ФН. то отклики СФ на каждую из них наложатся друг на друга, в результате чего на выходе может исчезнуть «двугорбость», т. е. утратится признак наличия на входе именно двух (а не одной) интер­ ферирующих копий.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: для гарантии хорошего разрешения при любых временных сдвигах, не меньших некоторого заданного минимума тмин, следует применять сигналы, у которых ФН Т (т) [либо корреляционная функция комплексной огйбающей ф(т)] имеет основной пик внутри интервала [ — тмнн/2, тмин/2 ] и малый уровень боковых лепестков, т. е. выбросов за пределами этого интервала. Попутно уместно напомнить, что анализ факторов, влияющих на точность оценки параметра, в частности времени запаздывания (см. § 4.7, 4.8, 5.1, 5.2), привел к аналогичному выводу относительно желательного вида ФН: последняя должна представлять собой острый главный пик, многократно превышающий боковые.

Достичь того, чтобы длительность ФН (6.3) или, что эквивалентно, длительность тк корреляционной функции комплексной огибающей (6.4) была меньше тми„, можно

152

простым способом: для всякого импульсного сигнала, длительность которого Тс С тмин/2, тк^тмнн. Однако при уменьшении длительности Тс сигнала без изменения его пиковой мощности пропорционально уменьшается и энер­ гия Е=РС7\, от отношения которой к спектральной плотности белого шума зависят статистические характерис­ тики соответствующих процедур извлечения информации (вспомним, что в выражения для таких показателей, как

ношение сигнал/шум на выходе СФ). Следовательно, чтобы уменьшение энергии Е не снижало положительного эффекта укорочения ФН, нужно уменьшая Тс пропорционально увеличивать пиковую мощность сигнала Рс. Возможнос­ ти такого увеличения на практике далеко не беспредель­ ны из-за ограниченности ресурса пиковой мощности ре­

на массогабаритные характеристики аппаратуры и т. п. Кроме того, при применении мощных кратковременных импульсных сигналов резко обостряется проблема эле­ ктромагнитной совместимости данной системы с другими радиосредствами, не обеспечивается полезная во многих случаях скрытность ее эксплуатации, существенно сни­ жается резерв работоспособности в условиях импульсных помех.

Перечисленные причины побуждают к поискам таких сигналов, которые позволяли бы иметь хорошее качество разрешения по времени запаздывания при больших собст­ венных длительностях (7’1.»тмнн), т. е. обладали бы корре­ ляционной функцией комплексной огибающей (6.4), более узкой, чем сам сигнал: тк<«:7'с. Если сигнал с таким свойством поступает на согласованный с ним фильтр, то длительность реакции последнего оказывается значительно меньше Тс, т. е. происходит сжатие сигнала в СФ. Благодаря этому эффекту и оказывается возможным разрешение сигналов, перекрывающихся на входе СФ. Проиллюстрируем изложенное с помощью рис. 6.2. Пусть радиоимпульс (сплошной прямоугольник на рис. 6.2, а) имеет корреляционную функцию ф (т) в виде радиоимпульса

входного сигнала Тс. Если па входной импульс наложится

153

менной сдвиг тмнн, начиная с которого сигналы уверен­ но разрешаются, в пододлительностью сигнала Тс,

которая может на много порядков превышать тмнн. Сигналы в виде одиночных импульсов без угловой

модуляции, называемые простыми, имеют действительную неотрицательную комплексную огибающую 5 (/). Поэтому для них, как следует из (6.3), (6.4), значение не может быть заметно меньше длительности импульса Тс. Следова­

или частоты. Введению такой модуляции и сопровож­ дающему его эффекту укорочения корреляционной функции (6.4) будет неизбежно сопутствовать значительное рас­ ширение спектра сигнала. Действительно, спектр сигнала на выходе СФ ЛФ(/) будет тем шире, чем короче сам выходной сигнал фильтра, что можно выразить соот­

выходе СФ повторяет по форме энергетический спектр |х(/)|2 входного сигнала, так что ширина спектра Д/с последнего примерно совпадает с Д/сф: Д/с~Д/сфге 1/тк. В результате приходим к следующему выводу: для того чтобы сигнал обладал свойством сжатия в СФ тк«Гс, ширина его спектра должна удовлетворять неравенству Д/.хИ/т,»!//)., т. е. многократно превышать значение, обратное длительности сигнала Тс. Иными словами, для любых сигналов, поддающихся сжатию в СФ, база В, определяемая как произведение ширины спектра на дли­ тельность, должна быть большой:

154

Сигналы с большими базами в отличие от упомянутых ранее простых (имеющих т, одного порядка с 7'с, а следовательно, Д/с одного порядка с 1/Тс) называют

сложными {широкополосными либо шумоподобными).

Последним названием подчеркивают определенную ана­ логию между сложными сигналами и реализациями белого шума, дельтаобразная корреляционная функция которого имеет исчезающе малую длительность по сравнению с любым конечным временем наблюдения реализации.

работкой, максимизирующей выходное отношение мо­ щностей сигнала и шума и обеспечивающей тем самым наилучшую «наблюдаемость» сигнала на фоне шумовых флуктуаций. С помощью специально подобранного фильтра можно «укоротить» любой сигнал, однако для простых сигналов это достигается ценой больших потерь в выходном отношении сигнал/шум по сравнению с согласованной фильтрапией. В то же время нередки случаи, когда помехи в виде запаздывающих или опережающих копий сигнала представляют гораздо боль­ шую опасность, чем флуктуационные шумы. Тогда приходится заведомо соглашаться на определенные потери в отношении сигнал/шум, применяя вместо согласованных фильтры, обеспечивающие более высокую степень сжатия сигнала.

§ 6.4. ВИДЫ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ

Сигналы с непрерывной частотной модуляцией. Пусть в тече­ ние длительности 7^ сигнала .s(/) мгновенное значение

ветствующий середине сигнала, запишем выражения для

155

где значение фазы Ф(0) без огра­ ничения общности принято рав­ ным нулю. Радиосигнал с угловой модуляцией вида (6.5) называют

линейно частотно-модулирован- ным импульсом (ЛЧМ-импуль- сом). Примерный вид ЛЧМ-им- пульса с прямоугольной огиба­ ющей, а также законы изменения его частоты и фазы показаны на рис. 6.3, а — в.

Второе йз выражений (6.5) позволяет записать прямоуголь­ ный ЛЧМ-импульс амплитуды А в виде следующей функции времени:

2л

Следовательно, комплексная огибающая прямоуголь­ ного ЛЧМ-импульса

девиация частоты многократно превосходит ширину спект­ ра модулирующего сообщения, спектр модулированного сигнала занимает полосу частот, приближенно равную девиации. В рассматриваемом случае частота модулируется

156

J

по закону линейно нарастающего в течение интервала Тс импульса, и в первом приближении за ширину спектра модулирующего сообщения можно принять величину 1/Тс, тогда как полный диапазон изменений частоты равен Wf.

Кроме того, при вычислении корреляционной функции комплексной огибающей ф(т) учтем, что для любых т из интервала [О, Гс] произведение 5(z)5*( z-t) отлично от нуля лишь при — 7’с/2 + т</< Тс/2. Поэтому при 0<т^Тс интегрирование в (6.4) после подстановки туда (6.7) нужно

Раскрыв скобки в показателе экспоненты, после замены

наглядное приближение. Действительно, когда произведение

157

WfTc достаточно велико, абсолютное значение знаменателя itWfT дроби в (6.8) становится большим уже при малых |т|/Гс, т. е. ф(т) затухает до пренебрежимого уровня уже

1—|т|/Гс в аргументе синуса практически равен единице.

показанной на рис. 6.4. Легко видеть, что при оценке длительности тк корреляционной функции (6.9) расстоянием

= 2/И// = 2Гс/(И//7’с)«Гс (см. рис. 6.2). Форма реакции СФ на радиоимпульс (6.6), описываемая (6.9), подтверждает из­ ложенное ранее относительно ширины спектра ЛЧМ-им- пульса, поскольку радиоимпульс с огибающей sinx/x [см. (6.9)] имеет прямоугольный спектр с шириной, обрат­ ной расстоянию первого нуля функции (6.9) от начала ко­ ординат: Д/с = 1/(тж/2)= Wf. Но так как спектр сигнала на выходе СФ повторяет по форме квадрат амплитудно-час­ тотного спектра входного сигнала, то амплитудно-частотный спектр ЛЧМ-импульса приближенно [в силу нестрогости соотношения (6.9)] можно полагать равномерным в диапазоне [/0- Wf/2,f0 + Wfj2] и равным нулю вне этого отрезка.

Технические средства, применяемые для формирования и согласованной фильтрации ЛЧМ-сигналов, разнообразны. Для импульсов длительностью Гс вплоть до десятков — со­ тен микросекунд и девиациями до нескольких десятков мегагерц наиболее характерно построение СФ с использова­ нием дисперсионных линий задержки наповерхностных акустических волнах. Групповое время задержки /3 в дис­

/3(/) линейно убывает с угловым коэффициентом—TJWf (рис. 6.5), то подобный четырехполюсник, последовательно соединенный с неискажающим полосовым фильтром с по­ лосой Wf, образует СФ для сигнала (6.6). Объяснение этого факта базируется на осмыслении физики работы любого СФ, функции которого сводятся к накоплению (запоминанию и взвешенному суммированию) последова­ тельно поступающих на вход фрагментов сигнала. ЛЧМсишал (6.6) начинается с низкочастотных колебаний [/(/)

158

Рис. 6.5

близка к /0 — IVf/2], которые в дисперсионной линии будут задержаны на максимальное время порядка Гс + /0 (рис. 6.5). Идущий затем отрезок сигнала с более высокой частотой запоздает на меньшее время так, чтобы к моменту Гс-Ы0 «догнать» предшествовавший и т. д. Заключительный отре­ зок сигнала задержится только на время t0, догнав все предыдущие. Поэтому в момент Тс +10 произойдет синфаз­ ное сложение всех собравшихся вместе отрезков сигнала, дающее основной пик отклика на рис. 6.4. Результатом же интерференции отрезков в другие моменты времени будут изменения комплексной огибающей на выходе по закону, воспроизведенному на рис. 6.4.

Отметим, что, хотя за длительность сжатого ЛЧМ-им- пульса была принята ширина основного пика (6.9), выбросы ф(т) ГФН Т (т) = | ф (т)|] за пределами интервала [— l/IVf, 1/^] (боковые лепестки) достигают значительного уровня, спадающего в обратной пропорции от т. Первый — макси­ мальный по уровню — боковой лепесток при т«3/(2Иф-) лишь в 3 л/2 % 4,7 раза (на 13 дБ) ниже уровня основного пика. Столь заметные боковые лепестки могут существенно повысить риск аномальных ошибок при измерении времени запаздывания ЛЧМ-сигнала и затруднить разрешение им­ пульсов, имеющих разнос по времени, близкий к тк = 2/И//.

На рис. 6.6, а сплошными и пунктирными линиями условно обозначены соответственно сильный и слабый ЛЧМ-импульсы, сдвинутые друг относительно друга по времени на 3/(2 IVf). В этом случае из-за интерференции откликов СФ на перекрывающиеся ЛЧМ-сигналы боковые лепестки сильного сигнала на выходе фильтра (сплошные

расположенного мешающего сильного. Так, в радиолока­ ции отраженный лоцируемой целью импульс нередко теря-

159