Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

обратной зависимостью с протяженностью по т корреляци­ онной функции сигнала s(t), т. е. длительностью отклика СФ на s(l) (в данном случае названная корреляционная функция в точности совпадает с ФН по параметру т). Следовательно, расширение спектра «обостряет» максимум сигнала на выходе СФ, и этот более острый максимум под действием шума одного и того же уровня будет флуктуировать по времени относительно своего истинного

оо

гуры под кривой !•?(/)|2,

Л2 = f (/-/о)21 (/)* 12 d//f I 3(f)12 d/ +f02.

о0

Так как первое слагаемое здесь является моментом инерции плоской фигуры под \s(f)\2jE при />0 относительно ее центра тяжести, то его степень 1/2 определяет некоторую эффективную ширину спектра ?(/) F3, для узкополосных

что свидетельствует о возможности повышения точности ОМП т за счет увеличения центральной частоты спектра радиосигнала, т. е. номинала несущей. Физика подобного явления очевидна — увеличивая /0, можно • сделать более острым пик высокочастотного заполнения сигнала на выходе СФ, временное положение которого и дает оценку т (рис. 5.3,6). Напомним в то же время, что расчет по границе Крамера —Рао не учитывает аномальные ошибки, вероятность которых при повышении номинала несущей (без одновременного увеличения q) возрастает, так как ФН радиосигнала (корреляционная функция, как отмечено ранее) — радиоимпульс и помимо главного пика при т = 0 имеет и боковые, следующие с периодом по г, равным 1//0. В § 4.8 отмечалось, что боковые пики ФН служат дополнительным источником аномальных ошибок. С ро­ стом /0 боковые пики сближаются с главным (и по т,

130

и по уровню) и опасность аномальных ошибок увеличива­ ется. Поэтому все усилия по практическому использованию резерва повышения точности измерения т, связанного с выбором номинала несущей /0, должны сопровождаться соответствующими мерами предотвращения аномальных эффектов, в противном же случае последние могут свести на нет ожидаемый выигрыш в точности.

Хотя сделанная оговорка существенна, она не отрицает принципиальной возможности увеличения точности измере­ ния определенных параметров (в данном случае т) с по­ мощью рационального выбора формы и числовых харак­ теристик сигналов в условиях, когда рассчитывать на увеличение энергии сигнала и, следовательно, отношения q не приходится. Наиболее совершенные радиоэлектронные системы реализуют эту возможность, применяя сложные (широкополосные) сигналы (см. гл. 6).

§5.2. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

В настоящем параграфе синтезированы структуры и опреде­ лены потенциальные точности измерителей, основываю­ щихся на допущении случайности и равновероятности на интервале [ — л, л] неинформационной начальной фазы сигнала ф. Так как рассматриваются оценки неэнергетичес­ ких параметров, то примем за основу правило ОМП (4.50) и выражения для элементов матрицы Фишера (4.59).

Оценка времени запаздывания. Модель сигнала со случайной фазой, единственным измеряемым параметром которого является время запаздывания т, можно записать как

s[t; X; ф) = $(/ — т; ф) = Ке[5(/ — т)ехр(/ф)ехр(;2л/о0]-

Согласно правилу (4.50), с учетом (4.46) — (4.47) и подста­ новки т вместо X оптимальный измеритель т можно реализовать по общей схеме рис. 4.6, в которой исключены элементы преобразователей П, вычисляющие argz(r), а на входы пар корреляторов поданы пары квадратурных составляющих с отличными от одной пары к другой значениями времени запаздывания. Однако, как и в § 5.1, здесь вновь существует альтернатива многоканальной

=| J У(0)//опт(7’с + г —0)d0,

У

1

а)

5(/) = Ке[5(/)ехр(у2л/оО] (с копией сигнала, имеющей нулевую либо любую фиксированную начальную фазу <р). Полученный комплексный интеграл ДюамеЛя показывает, что величина Z(t)=|z(t)|, аргумент максимума которой как функции т есть ОМП т, воспроизводится с задержкой на известную длительность сигнала Те огибающей на выходе СФ. Поэтому оценку запаздывания можно получить пропустив }>(/) через последовательно соединенные СФ и детектор огибающей ДО и зафиксировав момент Гм максимума выходной величины последнего. Вычитание из Гм значения Те позволяет получить ОМП т. Соответствую­ щая схема дана на рис. 5.4, а, а эпюры, пронумерованные, как и точки схемы, — на рис. 5.4,6.

Как и в §5.1, ФН относительно параметра т стацио­ нарна, и из формул (4.58), (4.55) следует Т (г) = | ф

СО

где ф(т) = (1/2£) J S(t) *S (t — т) dt. Применив теорему Пар-

— 00

севаля, получим

00

*НТ)=^ | 1^(/)12ехр(у2л/т)б/,

— 00

где S(f) — Фурье-спектр комплексной огибающей £(/) сигнала s(t). Обратившись к формулам (4.61), (4.59) и учтя, что оценивается единственный параметр т (г=1,Х1 = т), придем к результату

Т" (O) = Re [ф"(0)+|ф'(0)|2] =

132

Второе слагаемое в скобках имеет смысл квадрата центральной частоты Fo гильбертовой комплексной оги­

комплексной огибающей S(t) сигнала s(t; <р). Очевидно, что F2—момент инерции квадрата модуля спектра 5(/) (нор­ мированного так, чтобы площадь под ним была единичной) относительно оси /=0, или, что то же самое, квадрата модуля спектра сигнала s(t) (с аналогичной нормировкой) относительно его центральной частоты f=f0. Поэтому F,

называют эффективной (среднеквадратической) шириной спектра сигнала.

Таким образом, точность ОМП запаздывания сигнала со случайной фазой можно повысить и не прибегая к увеличению энергии сигнала, ибо расширение спектра также уменьшает условную дисперсию ОМП. Тривиальным способом увеличения F, является укорочение сигнала, т. е. уменьшение его длительности TQ. При этом, однако, для сохранения постоянства энергии, т. е. значения q, необхо­ димо одновременно поднимать и пиковую мощность сигнала, что на практике не всегда возможно в силу ограниченности ресурса пиковой мощности реальных пере­ датчиков. К счастью, спектр сигнала можно расширить и при фиксированной (например, достаточно большой) длительности Гс. Для этого требуется только осуществить соответствующую модуляцию сигнала в пределах длитель­ ности Та. При правильно выбранном законе модуляции ширина спектра F3 определяется параметрами этого закона, а не длительностью TQ. При этом выполняется соотношение F3TsZS>\. Уже упоминавшиеся в предыдущем пара; рафе

133

и более подробно изучаемые в гл. 6 сигналы, удовлет­ воряющие этому неравенству, называют сложными (ши­ рокополосными, шумоподобными) в отличие от простых,

«обостряется» и ее пик флуктуирует по времени под воздействием шума того же уровня в меньших пределах. При этом нужно иметь в виду, что безграничное увеличение F3 при фиксированной энергии сигнала не гарантирует беспредельного роста потенциальной точности, так как пороговое отношение сигнал/шум, превышение которого величиной q обязательно для предотвращения аномальных эффектов, возрастает по мере сужения главного пика ФН

\/| (см. § 4.8), т. е. значения F3. Подчеркнем очевид­ ную, но важную деталь: точность оценки т сигнала со случайной фазой не зависит от номинала несущей /0, поскольку за ОМП принимают временное положение максимума сгибающей радиосигнала (а не его высокоча­ стотного заполнения, как в § 5.1) на выходе СФ (рис. 5.4, б).

Оценка частоты. Пусть носителем интересующей наб­ людателя информации является частота принимаемого сигнала. Тогда, отсчитывая частоту от некоторого фикси­ рованного номинала /0, модель сигнала со случайной фазой при оценке частоты можно записать в виде s(t; F; (p)=Re {S(z)exp (уф)ехр [j'2n (f0 +F) z]}, где F—изме­ ряемая частотная расстройка, т. е. отклонение частоты принимаемого сигнала от /0. Пользуясь тем, что F— неэнергетический параметр, согласно правилу (4.50) с уче­ том (4.46), (4.47) при Х. = /-' получим структуру измерителя в виде многоканального корреляционного приемника (см.

•s(z; F,)=Re{S(z)exp[y2n(/0 + Fl)z]}, sx(t, /•)) = Im {5(z)expх x [j2л (/o+Fj) (]} сигнала с центральной частотой /0+7\-, г—1, 2, ..., М.

Другая модификация оптимального измерителя часто­

в момент окончания наблюдений z= Т (см. § 3.2), приведена на рис. 5.5. Эта схема представляет собой набор М ре­ зонаторов СФ, настроенных каждый на свою резонансную частоту f0 + F{. Решающий блок РБ выдает в качестве

134

оценки F (или f0 + F) ча­ стоту настройки того ре­

простейших примеров его воплощения служит, в частности, язычковый частотомер, широко применяемой как щитовой контрольный прибор в сетях электроснабжения.

Чтобы рассчитать дисперсию ОМП частоты, заметим, что ФН Ф (/•') = | ф (/•') | стационарна и в соответствии с выражением (4.58)

00

| S(z)|2 exp(-y2nFz) dz.

Применив алгоритм вычисления элементов матрицы Фише­ ра (4.59), в котором следует положить r= 1, ).l=F, получим

T"(0) = Re [ф"(О)+|ф'(О)|2] =

нала, квадрат которой есть момент инерции фигуры под кривой | X (z) 12/(2£) (под квадратом огибающей сигнала, нормированным так, чтобы площадь под ним была равна единице) относительно центра тяжести

135

Физика роста точности ОМП F с увеличением Г, очевидна: оценить отличие частоты от номинального значения можно по набегу фазы Дер несущей наблюдаемого колебания относительно гармонической опоры частоты /0.

ОМП величины Дер на 2кТ3 в силу инвариантности ОМП относительно замены переменных (см. § 4.4). Так как дисперсия Дф имеет порядок 1/<?2 (см. § 5.1), то дисперсия F оказывается равной правой части (5.8).

Интересно отметить дуальность временных и спект­ ральных характеристик при измерениях т и F. Если при 9 = const точность оценки времени запаздывания определя­ ется шириной спектра, т. е. «протяженностью» сигнала в частотной области, то дисперсия ОМП частоты зависит только от протяженности сигнала во временной области.

Совместная оценка временя запаздывания н частоты.

x(j<p)exp[j2rt(/0 + F)/]} измерению подлежат время запаз­ дывания т и частотная расстройка F относительно номи­ нала /0. Вектор измеряемых параметров при этом двумер­ ный: Х = (т, Е)т. Такое положение типично для радиолока­ ции. где время запаздывания и доплеровский сдвиг частоты сигнала, отраженного наблюдаемой целью, несут информа­

и параметрах движения пользователя; службы единого времени и цифровой связи, где путем оценки т и F сво­ дят шкалы местных и системных хранителей времени, и т. п.

Для совместных измерений т и F, как всегда при оценке неэнергетических параметров сигнала, пригодна универсальная структура рис. 4.6, в которой не нужны элементы преобразователей П, вычисляющие argz(r, /•'). При этом опорами г-й пары корреляторов служат квад­ ратурные компоненты s(t — т,; F,) и (/ — т;; F,), /=1, 2, ..., М, причем i-я пара от к-й отличается в общем случае временем запаздывания и частотой опор. Число каналов М в такой схеме выбирают из условия достаточно точной дискретной аппроксимации функции двух перемен­ ных Z (X) = Z(т, Г) = I г (т, F) |.

Если, однако, вновь перейти к СФ и детекторам огибающей, то число параллельных каналов измерителя можно значительно уменьшить. Действительно, согласно

136

равенству (4.45), в котором Х = (т, F)T, а в качестве S(t, X)

где ЯоптГ(t) = S* (Fc — /)ехр [—j2nF(Tc — /)] — комплексная огибающая импульсной характеристики фильтра, согласо­ ванного с сигналом 5 (/; F) = Re {S(/)exp [y'2n(/0 + F) /]}. Поэтому правая часть (5.9) для любого фиксированного значения F представляет собой огибающую на выходе СФ при подаче на вход наблюдаемой реализации j(/). При фиксированном значении F Z (т, F) как функция т воспроизводится с запаздыванием на Fc огибающей на выходе согласованного фильтра, частота настройки кото­ рого равна f0+F. Для воспроизведения Z(t, F) при всех возможных F следует взять набор М СФ, настроенных каждый на свою частоту. При этом число М СФ выбирают из условия удовлетворительного дискретного приближения Z(x, F) как функции F, оно существенно меньше числа параллельных корреляторов в структуре рис. 4.6. Осущест­

Измеритель, показанный на рис. 5.6, отличается от измери­ теля частоты на рис. 5.5 только тем, что в нем на решающий блок РБ подают непрерывные процессы с вы­

137

правки Тс служит ОМП времени запаздывания т; частота настройки канала, на выходе которого он зафиксирован, служит ОМП частоты F.

Для вычисления условных дисперсий воспользуемся стационарностью по т и F ФН, принимающей, согласно

Матрица Фишера имеет размерность 2x2, ее элементы вычисляют в соответствии с равенствами (4.59), в которых

где F.t и Т3— эффективные ширина спектра (5.6) и длительность (5.7) сигнала. Остается определить Ф12 = Ф21Согласно (4.59),

Ф12 = Ф21 = ~Я2 Re

Первый интеграл во втором слагаемом в скобках последнего выражения равен нулю вследствие равенства нулю .центральной частоты спектра комплексной огибаю­ щей S (/). Поэтому

оо

Ф12 = Ф21 = -2л^2-^ f ty'(i)S2(t)dt, 2.Г, J

— оо

где S(г) = 15(?) I, y(/) = argS(?) — действительная огибающая

0

клоненис частоты сигнала Re [S(/)exp(j2n/0/)] от /0, выз-

138