Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

и характеристики точности оценок Kyi и Kxi, не зависят от входных данных и могут быть рассчитаны заранее для всех значений i и занесены в память ЭВМ, с тем чтобы извлекаться оттуда по мере надобности. Кроме того, на практике нередко приемлемы те или иные упрощения алгоритма Калмана, как, например, замена переменных

Диапазон применений алгоритма Калмана в современ­ ных информационных системах чрезвычайно широк. Хотя для доказательства его оптимальности при байесовском подходе пришлось оговорить нормальность помехи, он обладает определенными оптимальными свойствами и по отношению к любым аддитивным помехам. Оказывается, что формируемая им текущая оценка наиболее близка в смысле среднеквадратического отклонения к истинному значению параметра по сравнению с прочими линейными (полученными только линейными преобразованиями наб­ людений) оценками. Кроме того, алгоритм Калмана можно усложнить, приспособив и к задачам нелинейной фильтра­ ции. Допустим, что измерению подлежит скалярный пара­ метр А;, описываемый уравнением сообщения

зволили каким-то образом выработать прогноз оценки на ьй шаг Хог. Тогда, считая измерения настолько точными, что расхождения истинного значения с прогнозированной оценкой невелики, можно заменить /г;(Х;) в (4.92) двумя

120

левую часть (4.94), а за коэффициент ht — производную /гДо:)- Поэтому итогом рассуждений, подобных тем, что

привели к алгоритму Калмана, окажется близкое к нему правило, согласно которому оценку можно сформировать, добавив к прогнозу XOi невязку [разность наблюдения слева в (4.94) и прогноза правой части (4.94)], взятую с весом gp

При этом для приближенного рекуррентного вычисле­ ния дисперсии оценки на z-м шаге Кул пользуются верси­ ей уравнения сообщения (4.91), получаемой такой же, как и (4.93), линеаризацией правой части в окрестности оценки (У—1)-го шага X,%_г)+Z>[-(Х,-_x)(Xf — k.-.J + v,-. Здесь коэффициенту в (4.81) аналогична производная />[(£,■_!). Поэтому вместо (4.86) получаем следующий алгоритм

принципиальное отличие: нелинейность исходной задачи про­ является в линеаризованном фильтре зависимостью коэффи­ циента усиления g; и дисперсии оценки Ки от предыдущей

довольствоваться возможностью пересчета этих величин от шага к шагу в соответствии с очередным наблюдением у,-.

Не приводя здесь обобщения формул (4.95) — (4.98) на векторный случай, подчеркнем лишь, что формально оно, как и при линейной фильтрации, свелось бы к замене скаляров их векторно-матричными аналогами.

В заключение отметим, что на первый взгляд гаус­ совско-марковские модели сообщений (4.79), (4.81) могут показаться несколько искусственными и ограниченными. В действительности же они обладают большой гибкостью

Такую зависимость вновь удается учесть в рамках модели (4.79), если соответствующим образом увеличить размерность оцениваемого вектора, включив в его состав наряду

121

с текущим значением X,- и значения оцениваемого парамет­ ра на предыдущих шагах Х,_15 Х;_2 и т. д. Универсальность гауссовско-марковской модели сообщения в не меньшей степени, чем вычислительная эффективность алгоритмов фильтрации типа калмановских, объясняет повсеместное применение последних в современной информационной технике.

Детерминированными или случайными функциями X яв­

ляются априорная ПВ, апостериорная ПВ, функция прав­ доподобия? Как эти функции связаны между собой? В чем

принципиальное отличие априорной и апостериорной ПВ? Получите байесовское правило оценки скалярного параметра X при «абсолютной» функции потерь П (Х,Х) = 6|Х—Х|, Ь>0.

Предположим, что наблюдатель готов примириться с некото­ рым смещением оценки, т. е. систематическая ошибка не настолько опаснее случайной, чтобы непременно требовать равенства ее нулю. Какие разумные критерии качества оценок, обобщающие (4.15), (4.16), можно при этом сформулировать?

Как связана информация Фишера (4.23) со «средним» поведением ФП И/(\-(/)|Х)?

В чем достоинство оценки по максимуму правдоподобия? Какими способами ФП может быть «освобождена» от неинформационных параметров?

Как трактуется ОМП неэнергетического параметра X (в том числе и при усреднении ФП по начальной фазе

сигнала) в терминах сходства принимаемого колебания

с сигналом?

Какие из следующих параметров сигнала являются неэнер­ гетическими; начальная фаза, центральная частота спектра, амплитуда, время запаздывания, длительность, девиация частоты, период повторения импульсов в пакете, индекс угловой модуляции?

Какова природа аномальных ошибок и пороговых эффектов?

К какому виду ФН следует стремиться, чтобы с большим

доверием относиться к значениям дисперсий ошибок, рас­ считанным по границе Крамера — Рао?

122

ГЛАВА 5

ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ И РАСЧЕТА ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

§ 5.1. ОЦЕНКА ВСЕХ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Вданной главе приводятся примеры применения изучавшейся

вгл. 4 теории к конкретным радиотехническим задачам оценки параметров сигналов, т. е. измерения параметров, постоянных в течение наблюдений. Практическим примерам фильтрации посвящен специальный раздел—гл. 22.

Рассмотрим простейшие примеры оценки всех неизвест­ ных параметров сигнала. Напомним, что все неизвестные параметры оцениваются в том случае, когда либо мешаю­ щие (неинформационные) параметры сигнала отсутствуют, либо наблюдатель включает мешающие параметры в число измеряемых.

Оценка амплитуды сигнала. Пусть сигнал имеет вид s(t; A) = As0(t), где А — амплитуда, подлежащая измерению и являющаяся единственным неизвестным параметром сигналу s(t; A); s0(l) —сомножитель, задающий форму сиг­ нала и имеющий единичную энергию (£о = ро(0^= 1)- Оп­ ределим сначала структуру, реализующую ОМП соответс­ твующего параметра (в данном случае А), а затем рассчи­ таем потенциальную точность измерения. Поскольку А — энергетический параметр, для решения первой из поставлен­ ных задач воспользуемся правилом ОМП (4.39), в котором

максимум этого квадратного двучлена соответствует зна­ чению A=z, так что A=z. Таким образом, ОМП амплитуды сигнала, нс содержащего мешающих пара­ метров, можно получить как отсчет на выходе коррелятора

123

Рис, 5.1

устройств реализации y(t). Разумеется, и коррелятор, и СФ должны опрашиваться в момент завершения формирования z, т. е. в момент окончания входного сигнала t=T, для чего на рис. 5.1 используется схема временной выборки (перемножитель, на один вход ко­ торого подан узкий импульс единичной амплитуды e(f), смещенный по времени на Т).

Расчет потенциальной точности при измерении ампли­ туды тривиален, так как равенство A = z .означает, что дисперсия ОМП £>{AjA} совпадает с дисперсией корреляции z. Таким образом, вычислять дисперсию ОМП по общей

точное и не связано с асимптотическими свойствами ОМП. Кроме того, измерение амплитуды является редким при­ мером существования строго эффективной оценки, которой и служит ОМП в силу перечисленных в § 4.4 свойств последней. Действительно, (4.31) после учета (5.1) приводит к результату

dlnWXy(OM) 2. 2 .

свидетельствующему о выполнении необходимого и доста­ точного условия существования строго эффективной оценки (4.25).

Более информативным показателем точности ОМП амплитуды, чем О{4|Я}, служит дисперсия относительной

зом, для повышения точности измерения амплитуды есть только один путь — увеличение отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра q(A).

Совместная оценка амплитуды и фазы (оценка комп­ лексной амплитуды). Пусть помимо амплитуды А неизвест­ на и подлежит измерению и начальная фаза <р сигнала

s(t; A, <p) = Re[J50(z)exp(/<p)cxp(/’2?t/0/)], где S0(t) —извест-

124

ная комплексная огибающая, учитывающая детерминиро­ ванные законы амплитудной и угловой модуляции сигнала.

щем случае, что сигнал единичной амплитуды имеет и еди­ ничную энергию £0=^f|So(012dr=l, Е(А) = А2Е0 = Аг.

При получении структур, реализующих ОМП А и ф, можно воспользоваться материалом § 4.6 для случая, когда фаза <р измеряется наряду с другими параметрами

есть полярные координаты плоского вектора с декар­ товыми компонентами

Т

,,Л(0

формирования А и ф необходимо вычислить корреляции

125

Рис. 5.2

К и преобразователь П декартовых координат в полярные. Возможность применения второй следует из того, что z— отсчет комплексной огибающей на выходе фильтра, со­ гласованного с s0(t), в момент окончания входного сигнала t=T (см. § 3.2). Поэтому Л = |с| и <p = argz являются амплитудой и фазой колебания на выходе упомянутого фильтра и, следовательно, могут быть получены как выборки на выходе детектора огибающей ДО и фазового детектора ФД при t=T.

В данном примере, как и в последующих, строго эффективных оценок не существует и потому приходится довольствоваться асимптотической эффективностью ОМП. Расчет дисперсий последних в асимптотическом приближе­ нии нетрудно произвести на основании соотношений (4.51), (4.26), в первое из которых следует подставить в качестве X вектор всех оцениваемых параметров, в данном случае двумерный вектор Х=(Л, <р)т. Тогда

£’(Х) = £(Л, ф) = Л2£’0 = Л2, z(X) =

г .

=fу(?)A Re [S0(r)exp (/<р)ехр(/'2л/0Г) ]dt.

О

Считая А,! = Л, Х2 = ср, имеем

Фц=2/^, Ф12 = Ф21=0,

2Ат- •

ф22=f X0Re [S0(/)exp (/ср)ехр(/2л/о0]dz= Л^оо

Следовательно,

126

и так как ОМП Л и (р асимптотически совместно нормальны с корреляционной матрицей Ф-1 (см. § 4.4), то они асимптотически независимы в силу диагональности полученной матрицы Ф"1. Кроме того, условные дисперсии

А и ф

и при оценке одной амплитуды, а дисперсия оценки фазы сигнала определяется только фактическим (отвечающим ис­ тинному значению амплитуды А) отношением сигнал/шум на выходе СФ. Поэтому при неизвестной энергии сигнала никаким изменением его формы или параметров повысить точность оценки фазы (как и амплитуды) нельзя.

Получишые результаты содержат в себе и решение более простой задачи оценки только фазы ф сигнала, не

подлежит оценке, то для формирования ОМП ф при известной амплитуде сигнала по-прежнему пригодны схемы рис. 5.2, в которых выход А не используется, а следова­ тельно, могут быть исключены все операции по вычисле­ нию длины вектора в схеме рис. 5.2, а и цепочка, включающая ДО, в схеме рис. 5.2, б. Условная дисперсия

ствующую энергии Е сигнала Re[S(/)exp (/2л/0/)] с извест­ ной амплитудой.

Отметим также, что когда фаза ф — неинформацион­ ный неизвестный параметр и требуется измерять лишь амплитуду, то схемы рис. 5.2 упрощаются путем исклю­ чения звеньев, формирующих ф (вычислителя угла в П на рис. 5.2, а и цепочки, содержащей ФД, на рис. 5.2, б).

Оценка времени запаздывания сигнала. Предположим, что информационным параметром сигнала служит время

/ = 0, для любых т>0 имеют продолжительность Г>т+Гс.

127

т

Так как в этих условиях выражение fs2(z — r)dz от т не

о

зависит, то время запаздывания оказывается неэнергетичес­ ким параметром и поэтому его ОМП, согласно правилу (4.40), можно получить непосредственно с помощью схемы рис. 4.5, где опорными сигналами корреляторов служат копии сигнала с различным временем запаздывания. Мож­ но, однако, прийти и к иной реализации измерителя т, не предполагающей «распараллеливания» обработки y(z) по многим каналам. Действительно, с(Х) = с(т) в правой части (4.40) можно записать как

2(T) = МОs(z-r)dz = f 7(e)j(rc-(Tc-0+x))d0 =

0— co

=f т(9)йопт(Тс + г-0)d0,

—co

где йопт (z) = j(7’c —z)—-импульсная характеристика фильтра, согласованного с s(z). Из полученного выражения, являю­

в последовательные моменты времени, отличающиеся от соответствующих т лишь известным слагаемым Те. По­ этому ОМП можно найти пропустив сначала y(z) через СФ, а затем зафиксировав момент ZM достижения колеба­ нием на выходе СФ своего максимума на интервале наблюдения. Вычитание из ZM величины Тс позволяет определить искомую ОМП времени запаздывания т. Из­ ложенное иллюстрируется рис. 5.3, а, где РБ—решающий блок, фиксирующий момент максимума на выходе СФ,

атакже эпюрами на рис. 5.3,6, оцифровка которых

соответствует номерам точек на рис. 5.3, а.

У

Рис. 5.3

128

Так как т — единственный измеряемый и к тому же неэнергетический параметр, то дисперсию его ОМП в асим­

однако, придать второй производной ФН (4.60) форму, способствующую более наглядному выявлению взаимо­ связи точности оценки запаздывания со структурой и па­ раметрами сигнала. Перейдем к Фурье-спектру s(f) сигнала

— эффективная или среднеквадратическая частота спектра сигнала 5 (/). Как видно, /2 является моментом инерции плоской фигуры под кривой |jr(/’)|2/£ (энергетическим спектром сигнала, нормированным так, чтобы площадь под ним была единичной) относительно оси /= 0 и потому характеризует «размах» спектра относительно нулевой частоты. Если измеряется время запаздывания видеосигна­ ла, спектр которого сосредоточен вблизи пулевой частоты, то /3 имеет смысл ширины спектра .v(f), которая связана