Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

параметра в сигнал s(t; Х(1)). Последний доступен наблюда­ телю в смеси с помехой, так что колебание, на основании которого должна быть построена искомая оценка £(/), описывается вариантом соотношения (4.1)

который в теории фильтрации называют уравнением наблю­ дения. Отметим, что, распространив на задачу фильтрации идеи, изложенные в § 4.2, мешающие параметры сигнала Э(г) можно присовокупить к информационным, увеличив размерность вектора последних. Поэтому в (4.68) меша­ ющие параметры самостоятельно не фигурируют.

Из приведенного определения ясно, что текущая оценка Х(г) в процессе фильтрации формируется исходя из всей полученной вплоть до момента t информации, т. е. с уче­ том значений наблюдаемой реализации у(£) при всех Родственной является задача прогнозирования или экстра­ поляции, когда по наблюдениям у (£) вплотьдо момента t требуется предсказать будущее значение параметра Х(/+т) при т>0. Если измеряют значения параметра в моменты времени, предшествующие г(Х(г—т), т>0), то такую про­ цедуру называют сглаживанием или интерполяцией.

К фильтрации сводятся многие классические радиотех­ нические задачи. Так, в традиционных системах передачи непрерывной информации (радиовещание, телевидение, ра­ диосвязь и т. д.) передаваемое сообщение модулирует тот или иной параметр (амплитуду, частоту, фазу) излучаемых передатчиком высокочастотных колебаний, на приемной же стороне для восстановления сообщения осуществляют демодуляцию, состоящую в непрерывном отслеживании амплитуды, частоты или фазы (в за­ висимости от вида модуляции) колебаний, т. е. фильтрацию названных параметров. В то же время теория фильтрации используется и для решения сложных задач, таких, как обработка информации в многозвенных комплексах, объединяющих разнородные системы. Примеры приме­ нения теории фильтрации к задачам такого типа рас­ смотрены в гл. 22. Для того чтобы исследовать задачу фильтрации с общностью, достаточной для понимания материала гл. 22, перепишем уравнение наблюдения (4.68) в векторной форме:

110

жества N параллельно наблюдаемых реализаций y;(z), y2(z),

..., J’w(z) процессов, записанных как одна реализация ^компонентного векторного колебания y(z) = (y1(z), _У2(0, JW(O)T. Независимо от конкретного содержания той или иной задачи удобно считать, что каждому скалярному колебанию yt(f) отвечает свой индивидуальный /-Й канал. Каждая из реализаций, т. е. каждый из N каналов, содержит свой полезный сигнал st(t; X(z)), 1=1,2, ...,N, являющийся детерминированной функцией t и измеряемого параметра X(z). Все N сигналов сведены в одну N-

x(z)=(x1(z), x2(l'), ..., xN(z))T, так как в каждом из N каналов присутствует свой шумовой компонент x((z) 1=1, 2, ..., N. Появление в (4.69) знака плюс вместо оператора Г[.,.]_ указывает на то, что далее помеха x(z) будет считаться аддитивной: yl(t) = sl(t; X(z))+x;(z), 1= 1, 2, ..., N.

Определяющее влияние на алгоритмы формирования Х(г) имеет вид зависимости s (f, X(Z)) в (4.69) от X(z). Если s(z; Х(0)—линейная функция X(z), т- е- зависимость s(z; X(z)) от X(z) подчиняется принципу суперпозиции, и можно записать s(z; X(z))=H(z)X(z), где H(z)—некоторая

.V х r-матрица, элементы которой могут зависеть от време­ ни t, но не от X(z). то фильтрацию параметра k(z) называют линейной. В остальных случаях фильтрацию называют нелинейной.

Наряду с непрерывной фильтрацией, осуществляемой при непрерывном наблюдении y(z), можно рассматривать и дискретную фильтрацию или фильтрацию последователь­ ностей, когда наблюдения доступны лишь в отдельные моменты времени z;. Тогда вместо (4.69) используют уравнение наблюдения

фильтрации целью является оценка i-ro элемента X, последовательности ‘к1, Х2, ... по наблюдениям у1; у2, ..., у(.

Главной проблемой изучаемой области статистической теории РТС является оптимальная фильтрация, т. е. отыс­ кание наилучших в некотором смысле правил формирова­ ния текущей оценки X(z). При этом за основу может быть принят байесовский подход, общие положения ко­ торого без затруднений переносятся со случая неизменного в течение наблюдений параметра на рассматриваемый

111

случай. Повторив рассуждения из § 4.2, нетрудно прийти к выводу, что для формирования байесовской оценки текущего значения Цг) необходимо построить текущее апостериорное распределение Ж(Ц01уС;)), приняв затем некоторую характерную точку последнего (центр тяжести, моду и т. п. — в зависимости от избранной функции потерь) за искомую оценку. Заметим, что запись в апостериорной ПВ условия у(^) с ограничениями на ^(^0 отражает зависимость апостериорных (вычисленных по итогам на­ блюдений) вероятностей тех или иных значений Х(г) от всего, что было доступно наблюдателю до момента t.

Следует подчеркнуть, что априорнбму (предшествую­ щему наблюдениям) знанию возможного поведения 1(0 в теории оптимальной фильтрации принадлежит значитель­ ная роль, и попытки применить к измерениям меняющихся параметров методику максимального правдоподобия, столь продуктивную при оценке неизвестных постоянных (см. § 4.4), могут привести к решениям, не имеющим никакой практической ценности. В подтверждение рассмотрим прос­ тейший пример скалярных наблюдений Х0 = Цг) + и(г), в которых и(г) — стационарный белый шум и требуется оценить текущее значение скаляра Х(г). Это задача линей­ ной фильтрации, в которой сигнал s[t\ Цг)) = Цг), т. е. совпадает с фильтруемой величиной. ФП для ЦО очевидно

симально правдоподобной оценкой явится зависимость Х(0> точно совпадающая с наблюдаемой реализацией у(0 на отрезке [О, Г]. Какая-либо обработка данных при этом отсутствует и фильтрации как «очистки» наблюдений от вредного влияния помех не происходит. Для осуществления же подлинной «очистки» необходимо согласовывать, увязы­ вать данные наблюдений у(Г) с имеющимися заранее сведениями о возможном характере изменения Ц0— имен­ но в этом и состоит суть процедур фильтрации. Заметим, что изучавшиеся в § 4.3, 4.4 правила ОМП, хотя и не требовали привлечения априорных сведений о возможных значениях X [априорной ПВ Wo (X,)], коренным образом опирались на иную априорную информацию — постоянство 1 в процессе наблюдений полагалось достоверным фак­ том.

Таким образом, для синтеза алгоритмов фильтрации необходимо прежде всего располагать априорными сведе­

112

xi; xt в уравнении наблюдения (4.70) независимы между собой при i^k и с отсчетами измеряемого параметра Х(. Вспомнив соотношение (4.14), запишем совместную апос­ териорную ПВ всех i отсчетов Х1; Х2, ..., Xf измеряемого

X‘i при заданной последовательности наблюдений у\. Так как ИЛ0(Х'1) можно представить как совместную ПВ Х,-1 и Х(, то> воспользовавшись теоремой умножения вероятностей и свойством марковских последовательностей, получим

следует, что после фиксации X, «вероятности» тех или иных значений у( совпадают с «вероятностями» отсчетов

аргументов Хп Х2, ..., Xf_j. По условию согласованности многомерных ПВ слева получим апостериорную ПВ 1-го отсчета измеряемого параметра Х;, вычисленную по всем

114

наблюдениям у,—Справа же интегрирование сомножителя 'Г1 |у'Гх) по X,, Х2, •••, Х;_2 (остальные от этих переменных не зависят) дает ПВ (г—1)-го отсчета

имеет смысл ПВ i-го отсчета Х;, предсказанной (экстрапо­ лированной) на i-й шаг по результатам наблюдений на («—1)-м предыдущем шаге. Сравнив (4.76) с (4.14), можно заключить, что И^Х^у'Г1) является априорной (по отно­ шению к «-му наблюдению у,) ПВ отсчета X,-, учитывающей все сведения о Х;, содержащиеся во всей серии наблюдений у’Г1, предшествовавших уР Эта величина, как следует из (4.77), может быть рассчитана на основании апостериорной ПВ значения измеряемого параметра на («—1)-м шаге ^.-ilyT1) и известной переходной ПВ 1^(7.Д;_ ^мар­ ковской последовательности X,, Х2, — • Таким образом, марковский характер изменений измеряемого параметра и независимость отсчетов помехи в (4.70) позволяют

И^у.), а затем по полученной величине и переходной

тяжести и пр., не будет зависеть от значения cOi, которое, таким образом, вычислять не нужно (хотя это и можно было бы сделать, воспользовавшись условием нормировки апостериорной ПВ).

Часто возможны и еще большие упрощения, избав­ ляющие от необходимости формировать апостериорную ПВ на каждом шаге и связывающие непосредственно оценки на «-м и («—1)-м шагах. При этом рекуррентно строят уже не апостериорную ПВ, а саму оценку. Именно к таким алгоритмам приводит решёние задачи линейной фильтрации марковской последовательности, основываю­ щееся на следующем варианте уравнения наблюдения (4.70):

где Н; — прямоугольная Nxr-матрица, с помощью которой значения Х; пересчитываются в сигнальный вектор 8( = Н(Х(;

115

n;—отсчеты вектора помехи, которые будем полагать не только независимыми и имеющими нулевое среднее, но и нормальными. Введем также корреляционную матрицу вектора п„ учитывающую возможную зависимость его

где В,-—детерминированная rxr-матрица; V,- — независимые отсчеты шума, придающие поведению Аь А.2, ••• случайный характер. Каждый из v; будет полагаться г-мерным нормальным вектором с пулевым средним и корреляцион­

ной матрицей Kvi = v,vf, независимым от всех п,. Нетрудно понять, что последовательность, строящаяся согласно

существа вопроса, разумно подробный вывод и интер­ претацию алгоритма оптимальной линейной фильтрации провести для простейшего примера измерения скалярного параметра при скалярных наблюдениях, соответствующим образом прокомментировав последующее обобщение на векторный случай. Для скалярных А.,-, ,у; уравнения на­ блюдения и сообщения (4.78), (4.79) можно переписать как

величины с нулевым средним и дисперсиями, обозначаемы­

при ;=],— нормальная случайная величина со средним А.о и дисперсией Кк0. Предположим, что апостериорная ПВ ^(^•i-ilj'i-1) в (4.77) нормальна для некоторого со

средним Xpj,-! и дисперсией Ku-i- При этом, восполь­ зовавшись следующей из (4.81) нормальностью переходной (т. е. условной при фиксированном А.;.,) ПВ И/(А.,|А.;_,),

116

можно после вычисления интеграла в (4.77) убедиться в нормальности ПВ ^(XJy'r1) для фиксированной совокуп­ ности наблюдений у ‘Г1. Этот же факт, однако, убедительно демонстрируется и неформально. Действительно, все, что можно предсказать о вероятных значениях измеряемого параметра на z-м шаге по наблюдениям на всех предыду­ щих, базируется на уравнении (4.81) с учетом того, что, согласно предположению по данным наблюдений у‘Г1,

величина X,-_j нормальна со средним и дисперсией Ku-i- Тогда, по данным тех же i— 1 наблюдений, величина X, как продукт линейного преобразования Х,_ t с до­ бавлением независимого нормального слагаемого vf [см.

(4.81)] также нормальна со средним и дисперсией blKu_l + Kv..

вместе с (4.82) в (4.76), после раскрытия скобок и при­ ведения подобных членов в показателе экспоненты придем

где в c( объединены сомножители, не зависящие от Х;. Сравнивая это соотношение со стандартной записью одномерного нормального закона (х/2пА’х,)- £ехр [—(Хг—

-4sz)V(2X’u)l = ^exp(-X?/2^n+XiXpsi//fJli), убеждаемся в нормальности апостериорной ПВ ИХХ,|у'1) с дисперсией

и средним

(4.84)

117

Таким образом, из нормальности апостерирной ПВ на (z—1)-м шаге следует нормальность ее на i-м, что при допущении нормальности Хо индуктивно доказывает нормальность апостериорной ПВ для любого i. Вспомним (см. § 4.2), что при квадратичной или простой функциях потерь оптимальными (байесовскими) оценками являются оценки по центру тяжести (апостериорному среднему) либо по правилу МАВ. Но для нормальной апостериорной ПВ среднее и мода совпадают. Следовательно, в качестве оптимальной оценки скалярного измеряемого параметра при линейной фильтрации независимо от функции потерь

фильтра Калмана. Как следует нз (4.85), располагая оценкой X.,-! на предыдущем, (z — 1)-м, шаге, фильтр Калмана, основываясь па уравнении сообщения (4.81), прогнозирует оценочное значение на z-й шаг. По получении z-ro наблюдения у,- прогнозированная оценка подправляется на значение, пропорциональное невязке (обновляющему процессу), т. е. отклонению прогнозирован­ ного слагаемого z-ro наблюдения в (4.80) от полученного отсчета у,. Коэффициент пропорциональности, регулирующий вес новых данных (невязки) в Х( по сравнению с прогнозом Ьфх-х, называют коэффициентом усиления фильтра Калмана. Эта величина помимо коэф­ фициента ht в уравнении наблюдения и дисперсии шума наблюдения Кп1 определяется еще и апостериорной дис­ персией Ки параметра А.,-. Последняя, как нетрудно по­ казать, совпадает с квадратом разности оценки и ис­ тинного значения Х;, усредненным по всем возможным шумам наблюдения, и, таким образом, характеризует точность оценки на z-м шаге. Действия, выполняемые фильтром Калмана, иллюстрируются схемой рис. 4.10, в которой элемент задержки осуществляет запоминание предыдущей, (г— 1)-й, оценки до следующего, z-ro, шага. Рисунок, как и поясняемый им рекуррентный (разностный)

118

алгоритм (4.85) — (4.87), по­ казывает, что фильтр Калмана является характерным примером линейной диск­ ретной замкнутой астатичес­ кой системы регулирования с переменными параметра­ ми. Ее чувствительный эле­ мент (дискриминатор) выра­

по цепи обратной связи hibiXi_l. После взвешивания рассогласование суммируется с ранее накопленным резуль­ татом, что эквивалентно введению в замкнутый контур интегратора, исключающего статическую ошибку.

Приведенные рассуждения позволяют понять и алго­ ритм фильтра Калмана для векторного параметра при векторных наблюдениях. Техника его вывода не отличается принципиально от использованной ранее, а итогом служат соотношения, которые формально можно получить из

Kvi, К„„ Км, последняя из которых характеризует точность фильтрации векторного параметра Х;:

где G, — матрица размера rxN, являющаяся матричным коэффициентом усиления фильтра Калмана.

Суть алгоритма (4.88)—(4.90) осталась прежней; экст­ раполированная с предыдущего шага оценка BjXi_1 после получения 1-го наблюдения у; корректируется с учетом новой информации, заключенной в невязке у; —H.-B^-j, вклад которой в Xf определяется матричным коэффициен­ том усиления G,.

Пошаговый (рекуррентный) характер алгоритма Кал­ мана, позволяющий получать текущую-оценку корректи­ ровкой ее предыдущего значения с учетом только очередно­ го О’-го). наблюдения, удобен для реализации на ЭВМ, особенно при необходимости фильтрации в реальном времени, т. е. по мере поступления данных. Подчеркнем, что коэффициенты усиления g,-, G, в (4.85), (4.88), как

119