Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

рений необходимо заметное преобладание сигнала над шумом [2£(Х)/^» 1]. При этом с большой вероятностью 2Z(k)/./V02> 1 для всех X, достаточно близких к истинному значению измеряемого параметра [для таких X Z (к) близко к £'(Х)]. С учетом асимптотики логарифма функции Бесселя для больших аргументов (см. § 3.4) 1п70 [2Z(k)/NQ ] х x2Z(k)/No. Ясно, что в этих условиях правила (4.49) и (4.41) совпадают.

В заключение отметим, что учет физической природы измеряемых величин нередко позволяет обходиться при формировании ОМП средствами более простыми, чем иллюстрируемые рис. 4.5, 4.6. Такая возможность будет использована в примерах, рассматриваемых в гл. 5.

§ 4.7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ ОЦЕНОК. ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Как указывалось в § 4.4, оценка по максимуму'правдоподобия эффективна всякий раз, когда строго эффективная оценка вообще существует. Однако во всех случаях выполнения условий регулярности (см. § 4.4) ОМП асимптотически эффективна. Таким образом, можно считать дисперсию ОМП совпадающей с границей Крамера — Рао. При существовании эффективной оценки это совпадение абсолютно точно, в других же случаях дисперсия ОМП тем ближе к названной границе, чем информативнее наблюдения, т. е. чем правомер­ нее ориентир па асимптотическую эффективность ОМП. Как отмечалось, для проявления механизма асимптотической эффективности необходимо заметное превышение энергией сигнала интенсивности шума либо достаточная продолжитель­ ность наблюдений. Полагая требования, гарантирующие равенство (точное или приближенное) дисперсии ОМП границе Крамера — Рао, соблюденными, конкретизируем выражения для последней применительно к измерениям параметров сигнала, маскируемого аддитивным белым шумом.

Допустим вначале, что оцениваются все неизвестные параметры сигнала. При этом на этапе формирования оценок полезные и мешающие параметры абсолютно равноправны, поскольку отбор оценок полезных парамет­ ров наблюдатель осуществит только после оценивания всех параметров. В итоге рассматриваемая задача неот­ личима от оценки параметров сигнала, не содержащего неинформациониых параметров. Воспользовавшись резуль­ татами (4.31), (4.27), для элементов Ф1Ь матрицы Фишера Ф получим

100

'1'(Ьо>Ь) = т: f s(G Х0)х(/; Х)Л Е -оэ

называется функцией неопределенности (ФН) сигнала s(t; к)

по параметру X. Очевидно, ФН есть коэффициент корре­ ляции двух копни сигнала s(t; X), имеющих различные значения (Хо и X) измеряемого параметра X. Кроме того, |ф(Х0, Х)| |ф(Х0, Хо)| = 1. В рассматриваемых далее при­ мерах будут встречаться лишь ФН стационарного типа,

зависящие только от разностного аргумента X—Хо. Неза­ висимость такой ФН от Хо позволяет определить ее равенством *

£- т

Втаком виде ФН ф(Х) характеризует изменение корреляции сигнала с его копией s(t; X) по мере отклонения значения параметра X от нулевого. Максимум ф(Х), равный

Рассмотрим случай, когда наблюдатель предпочел воспользоваться (4.38), т. е. когда начальная фаза ср сигнала

* Нулевой вектор 0 — вектор, все компоненты которого равны

нулю: 0 = (0, 0, .... 0)г.

101

Для высокоинформативных измерений можно принять 2Z(k0)/N0:»1, так что в некоторой окрестности Хо

отличие к от Хо достаточно мало, то первое слагаемое под знаком модуля в выражении для Z (к) по абсолютному значеншо близко к единице, второе (случайное) имеет, как нетрудно показать, дисперсию jV0/2£, так что можно вновь воспользоваться неравенством 2EfN0:»1 и, огра­ ничившись в разложении Z(X) в ряд Тейлора по степеням v(X) линейным приближением, после усреднения получить

5(z;X), отличающихся лишь значениями Хо и X измеряе­ мого параметра X. Числовой же характеристикой близости этих копий служит модуль ф(Х0, X), т. е. ФН Т(Х0, X). Для ФН стационарного типа, зависящих только от разности X —Хо, можно положить Хо = 0, перейдя к опре­ делению

102

тельному выражению для элементов матрицы Фишера :*

Фишера в задачах со стационарными ФН вычисляются согласно формулам (4.53), (4.52), когда оцениваются все неизвестные параметры, и формулам (4.59), (4.58) либо (4.55), когда наблюдатель предпочитает предварительное усреднение ФН по равновероятной начальной фазе.

После того как все Ф;ь найдены, следует выполнить обращение матрицы Ф = ||Ф№||. Полученная при этом обратная матрица Ф-1 является, как указывалось в §4.4 (по крайней мере асимптотически), корреляционной мат­ рицей ОМП всех одновременно оцениваемых параметров kj, k2, ..., kr. В главной диагонали Ф-1 стоят, следователь­ но, искомые дисперсии ОМП к,, к2, ..., кг [см. (4.26)].

Пусть, например, измеряется единственный неэнерге­ тический параметр сигнала к. Тогда Ф — скаляр, опреде­ ляемый согласно (4.53): Ф = — z?2ф"(0) (сигнал не содержит других неизвестных параметров, кроме к) — или (4.59): ф= — <?21Р"(0) (сигнал со случайной равновероятной фазой). Поэтому дисперсия ОМП, полагаемая равной правой части (4.26) или, что в данном случае одно и то же, (4.24), при отсутствии у сигнала неинформационных параметров

103

Таким образом, повышению точности ОМП скаляр­ ного параметра X способствует, с одной стороны, увели­ чение энергии сигнала, т. е. величины q, а с другой — при­ менение таких сигналов, у которых ФН имеет по возмож­ ности острый пик (большую по абсолютному значению отрицательную вторую производную) в точке Х = 0.

§ 4.8. АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ И ПОРОГОВЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Для того чтобы лучше понять природу асимптотического сближения дисперсии ОМП с границей Крамера— Рао,

видно. ф(Х— Хо) и v(X) являются детерминированной (неслу­ чайной) и шумовой составляющими £(Х). При этом реализации случайной функции v(X) переменной X в опреде­

ленном смысле подобны детерминированной функции

•

ф(Х — Хо), поскольку корреляционная функция v(X) с учетом

Х.Й'; X2)d/df = (2/<?2)ф(Х2 —XJ,

с о

откуда следует также стационарность v(X) как случайной

воспроизводит *Ч (X) с искажениями, выражающимися,

104

параметра Хо. В свою очередь, значение названного отклонения рассчитать довольно легко, если полагать q настолько большим, что в пределах отрезка, раз­

»Z'(X0)/Z"(X0). Слабый шум мало влияет на крутизну

переменной X Z (X) при больших q может считаться гауссовской с корреляционной функцией по X, равной корреляционной функции Re[v(X)], т. е. при X, близких

к Хо, (1/<?2)| v|/(X)( =(1/^2)Т (X). Так как дисперсию производ­ ной стационарной случайной функции можно найти как вторую производную от корреляционной функции со

знаком минус, то |Z'(X())| 2= —(1/<72)Ч'"(0) после чего

105

выражение (4.63) примет вид D {Х| Хо} = — 1/[^2Т" (0)], полностью совпадающий с полученным ранее на основе границы Крамера — Рао [см. (4.61)]. Попутно подтвержда­ ется и изложенное в § 4.4 об асимптотической нормаль­ ности ОМП, ибо при qy>l ошибка X —Хо линейно связана

свеличиной Z'(X0), которая может считаться гауссовской

всилу нормальности Z(X) в рассматриваемых условиях. Как выясняется, разработанная в § 4.7 методика

расчета потенциальной точности, т. е. дисперсий ОМП, оказывается удовлетворительной только при условии, что превышение сигнала над шумом настолько велико, что наблюдатель вправе полагать разброс X относительно Хо полностью укладывающимся в пределы линейного участка производной ФН, смещенной в точку Х = Х.О. Для этого прежде всего необходимо, чтобы побочные

Подобного рода ошибки, выводящие оценку за пределы протяженности ФН по оси £, называются аномальными. При заметных вероятностях аномальных ошибок при­ веденные формулы для дисперсий ОМП неприменимы. Дадим количественную оценку влияния аномальных оши­ бок на точность ОМП, воспользовавшись часто при­ меняемой приближенной методикой.

Пусть измеряемый параметр X принадлежит интервалу [Хн, Хв] длины £ = ХВ —Хн. Так как шумовая составляющая

v(X) в соотношении (4.62) стационарна по X, то побочный выброс, больший основного, может с равной вероятностью возникнуть в любой точке интервала [Хн, Хв]. Следователь­ но, если рассматривать только аномальные наблюдения (те, в которых происходят аномальные ошибки), то оценку Хв для них следует положить равновероятной на интервале [Хн, Хв]. Поэтому средний по всем таким наблюдениям квадрат отклонения ОМП Х„ от Хо составит величину

(Хв-Х0)2 = Е2/12 + [Х0-(Хн + Х,)/2]2, где Хоб[Хн, Хв]. Оче­

видно, максимум этой величины, равный £2/3, будет иметь место при 7.0 = Х„ либо при ХО = ХВ. Кроме того, дисперсия оценки, рассчитанная только по наблюдениям, в которых аномальных ошибок не совершается, по сущест­ ву тоже известна: в первом приближении ее можно считать

106

равной правой части (4.61). Так как аномальная ошибка

иее отсутствие—события несовместные, то для полного,

т.е. учитывающего и аномальные эффекты, среднего квадрата рассеяния ОМП относительно Хо имеем

значение этой величины в расчете на наихудшие последст­

полную неразличимость копий комплексной огибающей

сигнала S(t, X), у которых расхождение значений X не превышает АХ, и полную их ортогональность в противном случае. Если аномальной ошибкой считать случай, когда |£-Х0|>АХ, то ра можно трактовать как вероятность ошибки при различении М ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайными фазами, i-й из которых отличается от остальных специфическим значением пара­ метра Х:Х,-=Хн + гАХ, 1=0, 1, ..., М— 1, причем M=Lfkk. Оценив названную вероятность аддитивной границей (3.54), получим

определенную информацию о некоторой эффективной ши­

107

пропорционально у/1Ч* "(0)|■ Полагая ДХ= l/^/l Т" (0)|, будем иметь ЛГ=£/ДХ = £ч/|Ч/" (0)|. Используя это вместе с (4.66) в формуле (4.64), получим для полного среднего квадрата ошибки ОМП

Разделив обе части этого выражения на асимптотическое значение дисперсии ОМП D {Х|Х0} (4.61); устанавливаемое границей Крамера—Рао, и^учтя, что при М»1 №»Л/,

(£-Х0)2/О{Х|Х0}^1+——expl . (4.67)

Оу 4 J

Формула (4.67) показывает, во сколько раз аномаль­ ные ошибки увеличат средний квадрат флуктуаций ОМП

от q для значений М= 102, 103, 104 построены на рис. 4.8. Кривые отчетливо демонстрируют наличие порогового эффекта при измерениях, состоящего в резком ухудшении точности по мере уменьшения q от некоторого порогового ‘ значения qn. Механизм порогового эффекта заключается в том, что при q<q„ величина р„ становится ощутимой (резкий ее рост с уменьшением q объясняется экспонен­ циальной зависимостью от q2) и вклад аномальных

ошибок в (X —Х0)2 [см. (4.64)] оказывается определяющим при условии, что £ многократно превышает протяженность ФН по оси X.

.Если условие q>q„ выполнено, то влияние аномальных ошибок можно не учитывать, пользуясь для определения точности ОМП границами Крамера—Рао. Для практичес­ кой оценки qn можно прибегнуть к формуле (4.67), задав в ней левую часть г], т. е. связанное с аномальными

положим Г] = 2, что отвечает одинаковому вкладу в средний квадрат ошибки ОМП (4.64) аномальной составляющей и составляющей с дисперсией (4.61). Тогда q„ есть решение уравнения ^„/4 —lnt/2 = ln(A/3/6). Рассчитанные таким обра-

108

зом зависимости q„ (InМ) представлены на рис. 4.9. При достаточно большом М можно воспользоваться тем, что из #„»1 следует ^»lng„ и ^„~41п(Л/3/6) ж 9,21g (М3/6).

Рассмотренные особенности оценки скалярного неэнер­ гетического параметра сигнала со случайной фазой, связан­ ные с аномальными ошибками, характерны и для других задач измерения параметров (в том числе векторных). Подчеркнем, что проведенный анализ базировался па допущении об отсутствии у самой ФН каких-либо заметных максимумов (боковых лепестков), лежащих вне главного лепестка, расположенного в окрестности л = 0.

Если у ФН имеются заметные боковые лепестки, то возникает повышенная вероятность появления в их окрест­ ностях максимального выброса <1>П, чго увеличивает общую вероятность аномальной ошибки. Это является одной из причин интереса к сигналам с малым уровнем боковых лепестков ФН (см. пл. 6).

В гл. 5 будут рассмотрены конкретные примеры оценок параметров сигналов в радиотехнических системах. При этом будет полагаться, что условия пренсбрежимости аномальными ошибками соблюдены и допустим расчет дисперсий ОМП согласно границам Крамера — Рао.

§ 4.9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Как указывалось в § 4.1, фильтрацией называют из­ мерение текущих значений параметров сигнала, меня­ ющихся в процессе наблюдения. Таким образом, целью фильтрации является формирование оценки Х(/) значения зависящей от времени величины (в общем случае вектор­ ной) к (/) = (/.,(/), к2 (Г),..., (Г))', вхо описи в качестве

109