Литература / Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы (1990)

Отметим, что эффективные оценки существуют далеко не всегда и при их отсутствии можно построить границы, более точные, чем (4.24) и (4.26). Однако значение подобных границ в теории оценок не столь существенно, как границы Крамера — Рао. В определенной мерс это связано с асимптотическими свойствами оценок, обсуждае­ мыми в следующем параграфе.

§ 4.4. ОЦЕНКИ ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ

Требование (4.25) накладывает жесткие ограничения на вид ФП: преобразуя его, можно убедиться, что равносиль­ ным необходимым и достаточным условием существования эффективной оценки скалярного параметра X является принадлежность 1К(у(г)|Х) к довольно специфическому (экспоненциальному) классу функций. Более того, при несуществовании эффективной оценки не всегда удается построить несмещенную оценку, хотя бы удовлетворяющую критерию (4.16), предписывающему минимизировать услов­ ную дисперсию равномерно по X (т. е. одновременно для

Однако в практических задачах измерения, как правило, должны выполняться с высокой точностью, для достижения которой экспериментатор заранее принимает необходимые меры. Такой мерой при радиотехнических измерениях является обеспечение достаточной длительности наблюдений или заметного превышения помех сигналом. В подобных условиях наблюдателя может удовлетворить правило оценки, гарантирующее несмещенность и равномерный по X мини­ мум условной дисперсии асимптотически, т. е. при неограни­ ченном увеличении интервала анализа или уровня сигнала. Именно такими асимптотически оптимальными свойст­ вами и обладает оценка по максимуму правдоподобия

(ОМП).

В качестве ОМП измеряемого вектора X берут значение X, максимизирующее ФП для наблюдаемой реализации у(/). Как отмечалось, оценка параметров сигнала есть разновидность различения сигналов, поэтому алгоритм ОМП не нов — это разновидность введенного в § 2.2 правила МП, распространенного и на континуальные множества различаемых сигналов. Поскольку максимум

90

ФП достигается на тех же X, что и максимум логарифма

относительно ОМП справедливы следующие утверждения:

совместно нормальны с корреляционной матрицей К, обратной информационной матрице Фишера: К = Ф-1.

Здесь термин «асимптотически» означает соблюдение условий достижения высокой точности измерений; он является кратким эквивалентом словосочетания «при боль­ шом времени наблюдения или большой энергии сигнала».

Следовательно, во-первых, наблюдатель, заинтересо­ ванный в надежных измерениях, может принять в качестве оптимальной стратегию формирования оценки по макси­ муму правдоподобия, причем уверенность в том, что эта оценка наилучшая, будет тем более обоснованной, чем больше время наблюдений или энергия сигнала, и, во-вто­ рых, условные дисперсии ОМП, асимптотически стремя­ щиеся к границам Крамера — Рао, при точных измерениях могут рассчитываться как правые части неравенств (4.24), (4.26).

Перечислим дополнительно некоторые важные свой­ ства ОМП:

1)если строго (а не только асимптотически) эффек­ тивная оценка существует, то ОМП и является этой оценкой. Для скалярного измеряемого параметра это вытекает из условия (4.25). Поэтому наблюдатель, придер­ живающийся правила ОМП, не только убежден в асимпто­ тической оптимальности решений, но и застрахован от того, чтобы не заметить эффективную оценку, если таковая существует;

2)ОМП инвариантна к замене переменных. Пусть вектор X является функцией некоторого вектора у; Х = Ду). Тогда ОМП у вектора_ у есть любое значение уг которому отвечает образ X, где X — ОМП X, так как если X максими­ зирует ФП ХИ(з’(/)|Х), то у, для которого Х = /(у), максими­

зирует И/(>Д)|/(у)). Это свойство важно для практики,

91

ибо дает возможность находить ОМП одних параметров через ОМП других;

3) ОМП являются асимптотически байесовскими оцен­ ками. Действительно, при измерениях высокой точности, как указывалось в § 4.2, апостериорная ПВ значительно «острее» априорной. Поэтому в соотношении (4.14) И'ДХ) практически постоянна в области значений X, где сосредо­ точена апостериорная ПВ РИ(Х|>■(/)), которая, таким обра­ зом, повторяет по форме ФП 1Г(у(г)|Х). Благодаря этому апостериорная мода совпадает с ОМП. Учитывая, что по мере сужения апостериорной ПВ (увеличения точности измерений) все байесовские оценки сближаются, можно утверждать, что ОМП асимптотически совпадает с байе­ совской оценкой при любых априорной ПВ и функции потерь.

Изложенное позволяет рассматривать правило ОМП как универсальную и безотказную методику оценки пара­ метров сигналов. Являясь эффективной в тех случаях, когда эффективная оценка существует, ОМП в условиях надежных измерений обладает практически наилучшими характеристиками, в том числе и в байесовском смысле. Последнее имеет принципиальное значение, объединяя оба подхода, рассмотренных в § 4.2, 4.3. Поэтому даль­ нейшее изучение теории оценки (но не фильтрации— см.

§4.9) параметров сигналов опирается на использование правила ОМП.

§4.5. ОЦЕНКИ ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ

ПРИ НАЛИЧИИ У СИГНАЛА НЕИНФОРМАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ

В § 4.3, 4.4 не учитывались детали, сопутствующие оценке параметров сигналов, содержащих помимо информацион­ ных и мешающие параметры. Дело в том, что при стратегии максимального правдоподобия всегда имеется способ преодоления возникающих в подобном случае затруднений. Действительно, как и в § 4.2, векторы полез­

его составляющие подлежат измерению. Получив оценку Хэ вектора X, по максимуму правдоподобия, можно отбросить оценки т неинформационных параметров 9, являющиеся т последними компонентами вектора £э. Оставшийся г-мерный вектор X и будет ОМП X.

92

Вместе с тем в тех случаях, когда мешающие пара­ метры считаются случайными величинами с достоверно известной априорной ПВ И'о(Э), более простым может оказаться способ освобождения от мешающих параметров, не требующий увеличения размерности оцениваемого век­ тора (числа совместно измеряемых величин). Действи­ тельно, исходя из определения вектора Хэ, для его ФП

т. е. ФП вектора только полезных параметров X. Таким образом, для построения ФП 1 нужно усреднить ФП Хэ по всем 9 с учетом известного распределения вероятностей

§ 4.6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО НОРМАЛЬНОГО ШУМА

Рассмотрим случаи, когда помехой x(z) является аддитив­ ный нормальный шум. Практические основания для первоочередного внимания к помехам этого типа были

стационарным и белым (случай «окрашенного» шума

«наоборот», т. е. как функцию условия Хэ при фикси­ рованной реализации y(z), получим ФП параметра Хэ. После раскрытия скобок в показателе экспоненты получим (см. §2.4)

93

циент, зависящий от y(z). Таким образом, «правдоподобие» некоторого значения Хэ при принятой реализации y(z) определяется тем, насколько последняя похожа на сигнал s(t; Хэ) [мерой сходства служит при этом г(Хэ)—см. § 2.4], а также энергией сигнала с данным значением Хэ.

L2V°

Втех случаях, когда при известной ПВ ^(Э) жела­ тельно сразу исключить Э из 1Р(у(/)|Хэ), с тем чтобы

оценивать лишь r-мерный вектор полезных параметров

Рассмотрим случай, когда в число неизвестных пара­ метров (полезных или мешающих) входит начальная фаза сигнала (р. Предположим, что, за исключением <р, сигнал не имеет других неинформационных параметров. Модель

комплексная огибающая сигнала, зависящая только от информационных параметров Х;/о — известная центральная

2(хэ)= J>’G)ReL-s’G; b)exp(/q>)exp(/2n/or)]dr= [Re[y(z)]x

94

проверяется с помощью равенства Парсеваля для преобра­

Примем во внимание, что энергия сигнала не зависит от начальной фазы (р и в рассматриваемом случае £(Х3) =

= £(Х) = (1/2) f |5(z; X)|2dr. Поэтому, согласно (4.30) и (4.33),

шающий (не интерпретируемый наблюдателем как слу­ чайный с известной априорной ПВ) параметр, то ФП

ФП (4.31) с учетом конкретной природы одного из

(4.32). Можно указать ряд приложений (импульсная ло­ кация, связь по федингующим каналам и др.), в которых начальную фазу допустимо считать равновероятной на интервале [ — л; л]:

Тогда, усредняя ФП (4.36) в соответствии с равенством (4.32), получим ФП параметра X

М>

в которой модифицированная функция Бесселя нулевого порядка появилась по той же причине, что и в ОП (3.13).

Выражения для ФП (4.31), (4.36) и (4.38) позволяют установить и физически интерпретировать правила ОМП параметров сигнала на фоне гауссовского шума. Так, из

(4.31) или величину -(Х)-£(Х)/2:

95

Как видно, ОМП X неэнергетического параметра есть такое его значение, при котором принятая реализация обладает наибольшим сходством (корреляцией) с s(f, X). Поэтому в реальном времени, т. е. без запоминания реализации >’(/), оценку неэнергетического параметра сиг­ нала, не содержащего неизмеряемых параметров, можно

оценки значение X в опорном колебании канала с максимальным выходным эффектом. Число каналов М в такой схеме может быть равно чис­

ния которых наблюдатель допустить не может. Нетрудно видеть, что схема рис. 4.5 является оптимальным (дейст­ вующим по правилу МП) различителем М детермини­

ния сигналов и оценки их параметров, отмеченное в § 4.2, 4.4. Уместно напомнить, что корреляции z(X,) можно

тельном соединении со схемами временной выборки) корреляторы на рис. 4.5. Если бы параметр X был энергетическим, то схему рис. 4.5 (или ее эквива­ лент с согласованными фильтрами) пришлось бы не­

96

Пусть среди оцениваемых параметров наряду с 1 при­ сутствует и начальная фаза ф. Тогда на основании равенств (4.28), (4.36) ОМП £ и ф можно найти путем максимизации по X и ф числителя в показателе экспоненты в правой части (4.36). Очевидно, при любом X максимум этой

Смысл алгоритма (4.43), (4.44) будет особенно нагля­ ден, если в соотношениях (4.34), (4.35) выразить аналити­ ческие сигналы через соответствующие комплексные оги­

бающие. Подставив y(t)= У(/)ехр(/2л/01) [У(/)— комплекс-

2о

Втаком виде z(X) есть корреляция комплексных

огибающих принятого колебания у(/) и сигнала s(t; X), у которого вектору информационных параметров придано значение X. Таким образом, правило (4.43) предусматривает выдачу в качестве ОМП X того значения X, при котором указанная корреляция максимальна по абсолютному значе­

реализации и сигнала (У(1) и S(t; X)) имеют максимальное сходство. При •этом ОМП фазы равна аргументу корре-

ляции (4.45) У(1) с комплексной огибающей сигнала, у которого вектору X придано значение его ОМП X.

Чтобы прийти к структуре, реализующей ОМП (4.43), (4.44), учтем, что действительная ReQ.v(/; X)] и мнимая 1т[^(/; X)] части аналитического сигнала s(t; X) связаны преобразванием Гильберта (то же верно и в отношении Re [>"(/)] и Im[>’(/)]). Теорема Парсеваля вместе с соотноше­ нием (1.3), связывающим спектры Re[s(/; X)] и Im[j(z; X)](Re[;"(/)] и lm[y(/)]), позволяет получить равенства

1

f^(z)^(z; k)d/= f j±(/)5±(/; k)dz, x)d'>

где s±(z; k) = Im[J(/; k)], yx(z) = Im[y(z)]— преобразования Гильберта колебаний s(t; к) и y(z) . Поэтому из соотно­

k)sin[2n/o^+Y(z; ^)J D>(z; M и ч(‘> kJ—действительная огибающая и известный закон угловой модуляции сигнала s(/; к; (р)] — не зависящие от ф квадратурные составляющие

с горизонтальной осью) двумерного вектора (комплексного числа) с декартовыми координатами zt(k) и z2(k), равными корреляциям колебания y(t) с квадратурными компонен­ тами сигнала (см. § 3.2, 3.7). Таким образом, схему измерителя, работающего по правилу (4.43), (4.44), можно представить как набор М пар квадратурных корреляторов К (рис. 4.6), каждая из которых формирует пару корреляций z^k,) и z2(k;) с двумя копиями квадратурных компонентов

РБ отбирает в качестве ОМП к то к;, которое исполь­ зовано в опорах пары корреляторов с наибольшим выход­ ным эффектом Z(k;). За ОМП ф принимают ~угол на

£'(к1)/2, нетрудно приспособить схему рис. 4.6 для форм­ ирования ОМП параметра к, включающего и энергетичес­ кие компоненты согласно (4.41), (4.42).

Рассмотрим ОМП параметра к сигнала со случайной фазой, имеющей априорную ПВ (4.37). Применив алгоритм

98