40. Умножение и деление многозначных чисел.
Умножение и деление многозначных чисел изучается в такой последовательности:
1) умножение на однозначное число (426•3);
2) деление на однозначное число (792:2);
3) умножение числа на произведение и на этой основе умножение на числа, оканчивающиеся нулями (621•30);
4) деление числа на произведение и на этой основе деление на числа, оканчивающиеся нулями (480:60);
5) умножение числа на сумму и на этой основе умножение на двузначное и трехзначное число (46•73, 428•263);
6) деление на двузначное и трехзначное число.40. Умножение и деление многозначных чисел
Рассмотрим основные случаи умножения и деления многозначных чисел в такой последовательности: письменное умножение на однозначное число, умножение на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и трехзначное число; письменное деление на однозначное число, деление на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и на трехзначное число. Частные случаи будем вводить по мере того, как они могут появляться.
К частным случаям умножения обычно относят умножение с нулем (с нулями) в середине множителя, с нулем (с нулями) на конце только множимого, или только множителя, или же на конце у обоих сомножителей. К аналогичным случаям деления относят случаи с нулями в частном. Уже само название «частные случаи» говорит о том, что в них есть нечто своеобразное, хотя в основном они сходны с общими случаями.
Письменное умножение начинается с повторения умножения трехзначных чисел на однозначное число.
Этот случай письменного умножения содержит в себе все типичное и характерное для алгоритма умножения любого многозначного числа на однозначное; значит, в процессе, работы над этим простейшим случаем и закладываются основы навыка письменного умножения многозначных чисел на однозначное.
Далее ученики самостоятельно применяют прием умножения разрядного числа на однозначное число и прием разложения множимого на разрядные слагаемые.
Остановимся на том частном случае, когда множимое оканчивается НУЛЯМИ. Примеры такого рода решаются уже знакомым детям приемом умножения круглого числа на однозначное. Разница только в том, что до сих пор детям приходилось пользоваться этим приемом в устных вычислениях, а теперь и в письменных. На решении этих примеров можно, кроме того, показать особенность записи письменного умножения по сравнению с записью сложения и вычитания, когда каждый разряд второго компонента пишется под таким же разрядом первого компонента.
Рассуждение, которым обычно пользуются при умножении на 10 и на 100, состоит в следующем. При умножении единицы на 10 (100) получается один десяток (одна сотня); если умножить каждую единицу числа на 10 (100), то в произведении получится столько десятков (сотен), сколько единиц во множимом. Рассуждая так, дети под руководством учителя решают ряд примеров, сравнивают множимое и произведение и выводят правило:
Чтобы умножить число на 10 (100), надо приписать к нему справа нуль (два нуля). В дальнейшем умножают на 10, пользуясь этим правилом.
Под круглым числом в широком смысле слова понимают число, которое оканчивается одним или несколькими нулями. Таковы числа 30, 500, 420, 1700 и т. д. На первом этапе целесообразно рассмотреть умножение не на любое круглое число, а лишь на круглые числа, которые состоят не более, чем из девяти единиц того или иного разряда. Таковы числа 30, 40 и т. п. и числа 400, 700 и т. п., которые в методической литературе принято называть круглыми.
При объяснении умножения на круглые десятки исходим из задачи, например: В коробке 6 мячей. Сколько мячей в 20 коробках? Выяснив, что для решения этой задачи надо 6 x 20, или повторить 20 раз, мы иллюстрируем ее графически примерно так:
Подсчитываем и находим, что в двух коробках каждого ряда 12 мячей, а всего таких рядов 10; чтобы узнать, сколько мячей в 20 коробках, надо 12 умножить на 10, получим 120.
Умножение на десятки и круглые сотни следует, сопоставить с умножением любого круглого числа на однозначное. Важно, чтобы ученики уяснили себе значение приписки нулей в том и другом случае: при умножении круглого числа приписка нулей означает раздробление единиц высшего разряда в простые единицы, а при умножении на круглое число приписка нулей означает умножение на соответствующую разрядную единицу.
При умножении на двузначное и трехзначное число все операции над множимым можно свести к умножению его на однозначное число и на разрядную единицу. Например, решая пример 56 x 37, ученик рассуждает так:
Чтобы умножить 56 на 37, достаточно сначала умножить 56 на 7, затем умножить 56 на 30 и полученные числа сложить. Умножаем 56 на 7 ...
Умножаем 56 на 30. Для этого достаточно умножить 56 на 3 и к полученному числу приписать нуль. Этого нуля мы писать не будем, оставим его место свободным, а произведение на 3 начнем записывать под десятками.
Умножим 56 на 3 ... Складываем ... Ответ: 2072