de2

5. m + l − 1 = n + 2 − l = 0:

X1 = x∂x, X2 = y∂y .

Теперь переходим к исследованию ТВА. Следует отметить, что наличие ТВА совершенно не обязательно влечет изменение вида допускаемого оператора при “особых” значений параметров. В некоторых случаях этот факт доказывается очень просто. Рассмотрим ТВА l = −1. Из

уравнения

Ωl−1 = Ω−2 = −lAxnymηx = 0

следует ηx = 0; этим тождественно удовлетворяется последнее уравнение Ω0 = ηxx = 0, поэтому совпадающий с k = 0 индекс k = l + 1 дает уравнение Ωl+1 = 0, и система оказывается идентичной уже рассмотренной в общем случае.

В случае ТВА l = 1 потребуется значительно большее количество выкладок. Определяющая система имеет вид

Ω3 = −ξyy = 0,

Ω2 = ηyy − 2ξxy − 2Axnymξy = 0,

Ω1 = 2ηxy − ξxx − Axnymξx − nAxn−1ymξ − mAxnym+1η = 0, Ω0 = ηxx − Axnymηx = 0.

Первые два уравнения дают

ξ = a(x)y + b(x)

(значения m = −1 и m = −2, при которых существенно изменяется вид оператора, будем называть сингулярными точками; в некоторой степени они аналогичны ТВА).

51

− (m + 1)(m + 2)ax2ny2m+1 = 0.

ТВА этого уравнения соответствуют указанным выше сингулярным точкам, а также значениям m = 0, −1/2, 1.

Упражнение 1. Покажите, что в случае m 6= 0, −1/2, 1 допускаемые операторы совпадают с найденными в общем случае: (3.5.3) при n 6= 0 и (3.5.4) при n = 0.

Упражнение 2. Покажите, что ТВА m = −1/2, 1 не приводят к расширению допускаемой группы.

Упражнение 3. Покажите, что при m = 0 уравнение допускает 8-мерную алгебру Ли.

Указание: рассмотрите отдельно следующие случаи: 1) n 6= −1 ; 2) n = 0, A 6= =6 −1 ; 3) n = −1, A = −1.

Упражнение 4. Докажите, что определяющая система для уравнения (3.5.1) при l = λ эквивалентна таковой при l = 3 − λ, если выполнить замены: 1) ξ η; 2) x y; 3) A → −A. Выпишите допускаемые операторы для ТВА l = 2, 4, воспользовавшись найденными операторами для ТВА l = −1, 1.

Замечание. Утверждение, доказываемое в упражнении 4, наглядно демонстрирует наличие дискретной симметрии определяющей системы для уравнения (3.5.1) и возможности ее использования для снижения трудоемкости реализации алгоритма Ли (вместо исследования значений l на всей оси −∞ < l < ∞ достаточно ограничиться анализом на полуоси −∞ < l 6 3/2).

Упражнение 5. Проведите групповой анализ уравнения (3.5.1) при m = −1 и m = −2.

Теперь найдем непрерывные точечные группы эквивалентности уравнения (3.5.1). Так как переменные (параметры) A, ν, µ и λ – недифференциальные, будем искать оператор в виде

XEQ = X +α∂A + ν∂n + µ∂m + λ∂l.

2

Набор коэффициентов Ωk для группы эквивалентности отличается от (3.5.2) лишь наличием нового слагаемого Ω∞ = Aλxnym ln y′(y′)l и ко-

52

Из уравнения Ω∞ = 0 с очевидностью следует λ ≡ 0. Далее, из вычислений, выполненных в начале параграфа для всех коэффициентов, кроме Ωl, имеем ξ = ax + b, η = cy + d. В результате уравнение Ωl = 0 приобретает вид:

α = A (1 − m − l)c + (l − n − 2)a − (ν ln x + µ ln y) = 0,

однако A – константа, которая при преобразованиях группы может переходить тоже только в константу. Это исключает зависимость соответствующей координаты инфинитезимального оператора от переменных x и y.

Таким образом, оператор группы эквивалентности имеет вид

XEQ = ax∂x + cy∂y + (1 − m − l)c + (l − n − 2)a A∂A.

Этот оператор содержит две произвольные константы, поэтому задает двумерную группу эквивалентности, определяемую операторами

XEQ1 = x∂x + (l − n − 2)A∂A,

XEQ2 = y∂y + (1 − m − l)A∂A.

Заметим, что подбором коэффициентов в линейной суперпозиции

˜

X = C1XEQ1 + C2XEQ2

можно исключить слагаемое с ∂A. Естественно, при этом получается известный допускаемый оператор X1 (3.5.3).

3.6.Классическое уравнение Эмдена-Фаулера

Исследуем теперь значение l = 0, т. е. классическое уравнение Эм- дена-Фаулера

53

(полученные результаты дадут возможность выписать допускаемые операторы и в ТВА l = 3, см. упражнение 4). Определяющая система состоит из четырех уравнений

Ω3 = −ξyy = 0,

Ω2 = ηyy − 2ξxy = 0,

Ω1 = 2ηxy − ξxx − 3Axnymξy = 0,

Ω0 = ηxx + (ηy − 2ξx)Axnym − nAxn−1ymξ − mAxnym−1η = 0.

Из первых двух уравнений находим

ξ = a(x)y + b(x), η = a′(x)y2 + c(x)y + d(x),

третье и четвертое перепишутся в виде

Расщепление по степеням y дает d = 0, b(x) = β2x2 + β1x + β0, а расщепление выражения в фигурной скобке по степеням x приводит к алгебраической системе

решения которой определяют искомые операторы: 1. n, m + n + 3, m + 2n + 3 =6 0:

2. m + n + 3 = 0, n =6 0:

X1 = (m − 1)x∂x − (m + 1)y∂y, X2 = x2∂x + xy∂y .

54

3. m + 2n + 3 = 0, n =6 0:

X = 2x∂x + y∂y .

4. n = 0, m =6 −3:

X1 = (1 − l)x∂x + 2y∂y , X2 = ∂x.

5. n = 0, m = −3:

X1 = 2x∂x + y∂y , X2 = x2∂x + xy∂y , X3 = ∂x.

Операторы растяжения во всех случаях оказываются частными случаями оператора (3.5.3). Заметим, что зависимость β1 от γ терпит разрыв при m + 2n + 3 = 0. Так как в этом случае мы не получаем дополнительной симметрии, а вид оператора (3.5.3) не меняется, значение m + 2n + 3 = 0 представляет собой в каком-то смысле “устранимую особую точку”. Такие точки являются “подозрительными” на наличие дополнительных симметрий (в данном случае – дискретной симметрии и первого интеграла).

Перейдем к рассмотрению ТВА. При m = 2 уравнение (3.6.2) принимает вид

расщепление выражения в квадратных скобках по степеням x приводит к алгебраической системе, которая с точностью до ненулевых множите-

лей имеет вид

(7n + 20)d1 = 0,

(7n + 15)d = 0,

0

(n + 5)b2 = 0,

(2n + 5)b + 2γ = 0,

1

nb0 = 0.

Три последних уравнения совпадают с соответствующими уравнениями системы (3.6.3), решения которой нам уже известны, а первые два уравнения дают 2 случая расширения допускаемой группы:

55

Кроме этого, при указанных значениях m и n уравнение (3.6.1) допускает и оператор (3.5.3).

Заметим, что если в уравнении, допускающем, например, оператор (3.6.6), т. е. в уравнении

выполнить подстановку x = et, y = uet/7 и нормировать на единицу коэффициент при первой производной t = 7τ /5, мы получим уравнение

Очевидно, это уравнение допускает двумерную алгебру точечных симметрий, однако оно отсутствует в формулировке теоремы 6.1 (стр. 57) монографии [14], где перечислены все случаи (?), когда уравнение

d2u − du = f (u) dτ 2 dτ

допускает такую алгебру. Таким образом, теорема неверна.

Упражнение 6. Найдите ошибку в доказательстве теоремы.

При m = 1 изменяется вид как третьего, так и четвертого уравнений определяющей системы:

первое из которых дает c = 12 b′ + γ, а второе совпадает с исходным уравнением Эмдена-Фаулера (напомним, что мы рассматриваем случай l = 0, m = 1). Четвертое уравнение после расщепления порождает си-

стему уравнений

a′′′ = Axna′ + Anxn−1a,

b′′′ = 4Axnb′ + 2Anxn−1b,

d′′ = Axnd,

первое из которых является дифференциальным следствием исходного и в силу (3.6.8) удовлетворяется тождественно, последнее совпадает с исходным уравнением. Общее решение второго уравнения имеет вид

b(x) = C1u21(x) + C2u1(x)u2(x) + C3u22(x),

56

где u1(x), u2(x) – фундаментальная система решений исходного уравнения. Если она известна, то допускаемая алгебра 8-мерна и задается операторами

Если фундаментальная система решений исходного уравнения не известна, остается лишь оператор X1, который допускается любым линейным однородным уравнением.

Упражнение 7. Найдите все значения n, при которых уравнение y′′ = Axny допускает 8-мерную алгебру, заданную операторами с координатами, выраженными через элементарные функции.

Указание: воспользуйтесь редукцией этого уравнения к специальному уравнению Риккати.

Упражнение 8. Докажите, что любое линейное уравнение допускает оператор X = y0(x)∂y , где y0(x) – частное решение этого уравнения.

Упражнение 9. Найдите 8-мерную алгебру, допускаемую уравнением y′′ =

= Axn.

Упражнение 10. Докажите, что уравнение, определяющее первый трансцен-

дент Пенлеве y′′ = 6y2 + x, не допускает никакой точечной группы Ли.

57

Глава 4. Интегрирование уравнений, допускающих группу

4.1.Предварительные замечания

Одна из первых идей применения группового анализа к интегрированию уравнений состояла в том, что наличие допускаемой группы позволяет “размножать” решения. Пусть y = f (x) – частное решение некоторого уравнения, допускающего группу (1.3.1). Тогда функция y˜ = f (˜x) также будет решением того же уравнения, но она представляет собой уже не одно частное решение, а однопараметрическое семейство решений [21]. Этот прием является особенно эффективным, если группа, допускаемая уравнением, многопараметрическая. Тем не менее в ряде случаев требуемый результат получить не удается – в множестве частных решений могут оказаться такие решения, которые под действием некоторых преобразований переходят сами в себя, т. е. являются инвариантными. К этим решениям мы вернемся далее, а пока отметим, что для интегрирования уравнений при наличии допускаемой группы знание частного решения и не требуется.

В главе 2 уже было доказано, что для уравнения первого порядка знание допускаемой нетривиальной группы гарантирует отыскание интегрирующего множителя (теорема 2.1), а для уравнений старших порядков представление уравнения в инвариантах допускаемой группы приводит к уравнению порядка на единицу меньше (п. 2.7). Существует и универсальный прием – как было доказано в п. 1.4 (теорема 1.4), всякая однопараметрическая группа на плоскости может быть преобразована к группе переносов, что в свою очередь позволяет уравнение, допускающее эту группу, преобразовать в автономное. Это гарантирует интегрирование уравнения первого порядка в квадратурах или понижение порядка уравнения, если оно имеет порядок выше первого. Заметим, что подстановка, понижающая порядок автономного уравнения (y′ = p(y)) есть не что иное, как такое же представление уравнения в инвариантах – величины y и y′ являются универсальным и первым дифференциальным инвариантами группы переносов по оси x.

Казалось бы, наличие n-параметрической группы должно обеспечить нам интегрирование уравнения n-го порядка, которое её допускает. Однако ситуация гораздо сложнее. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Уравнение порядка n > 2 интегрируется в квадратурах методом последовательного понижения порядка, если и только если оно допускает разрешимую n-мерную алгебру Ли.

При n = 2 наличие допускаемой двумерной алгебры всегда поз-

58

воляет проинтегрировать уравнение. Тем не менее и эта процедура не лишена тонкостей. Хорошей иллюстрацией является следующий пример (Н. Х. Ибрагимов).

Пример 2. Рассмотрим линейное уравнение

Это уравнение допускает два очевидных оператора:

первый – в силу того, что уравнение (4.1.1) имеет частное решение y = x, второй – в силу однородности исходного уравнения. По теореме 3.3 уравнение (4.1.1) допускает 8-мерную алгебру, но для интегрирования нам достаточно двух операторов, и остальные мы искать не будем.

Так как коммутатор операторов (4.1.2) имеет вид

В данном случае нам даже не потребовался второй оператор, но мы произведем

Так как преобразование не является точечным, мы воспользуемся формулой (2.4.8). Здесь

∂

Отсюда X2′ = v ∂v . Так как это снова точечный оператор, мы легко можем еще раз понизить порядок, т. е. полностью проинтегрировать исходное уравнение.

59

2. Теперь попробуем проинтегрировать уравнение (4.1.1), понизив порядок с

помощью оператора X2. Преобразование t = x, u = y′ переводит исходное уравне- y

ние в уравнение Риккати

Для этого уравнения путь интегрирования далеко не очевиден (хотя мы прекрасно понимаем, что это уравнение интегрируется в квадратурах, тем более, что проницательный читатель заметил, что частным решением уравнения (4.1.6) является функ-

Полученный оператор (4.1.7) не является точечным, и его невозможно привести к оператору переноса. В самом деле, для поиска преобразования p = p(t, u), q =

Если первое уравнение системы (4.1.8) решается легко (например, в качестве решения можно взять p = t), то из второго уравнения найти функцию q = q(t, u) не удается.

Операторы вида (4.1.7) называются экспоненциальными нелокальными операторами (ЭНО). Далее на примерах мы покажем, что наличие ЭНО, полученного из двумерной алгебры, допускаемой уравнением 2-го порядка, позволяет проинтегрировать это уравнение, но алгоритмичность процедуры теряется. Подробным изучением ЭНО мы займемся в части III.

4.2.Алгоритм понижения порядка. Двумерные алгебры Ли

Как видно из равенства (4.1.3), оператор X1 порождает идеал L1 в двумерной алгебре Ли L2 с базисом (4.1.2) из примера 2. После понижения порядка уравнения (4.1.1) с помощью этого идеала L1 мы получили уравнение первого порядка (4.1.5), которое допускает фактор-алгебру L2/L1 (её мы отождествили с одномерной алгеброй, натянутой на L2) при естественном определении её действия на плоскости (t, v).

Если же для понижения порядка использовать одномерную подалгебру X2, не являющуюся идеалом, дополнительная симметрия теряется

60