Действительные числа

Действительные числа

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R. Очевидно, что R Q Z N .

Основные свойства действительных чисел:

1.множество действительных чисел упорядоченное, то есть для каждых двух различных действительных чисел a и b можно указать, какое из них меньшее;

2.множество действительных чисел всюду плотное, то есть между каждыми двумя

действительных чисел;

3.множество действительных чисел непрерывно, то есть в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, а геометрически это означает, что каждому действительному числу a на числовой прямой соответствует точка, имеющая координату a , и, обратно, каждая точка числовой прямой имеет действительную координату;

4.арифметические действия над действительными числами всегда возможны (кроме деления на нуль) и в результате дают действительное число.

«бесконечными числами» в отличие от действительных чисел, которые называют «конечными числами». В дальнейшем под числом будем понимать конечное число.

Определение 1. Абсолютной величиной, или модулем, действительного числа a

1

Число a называют числом, ограничивающим множество X снизу.

Множество, не являющиеся множеством ограниченным снизу, называют множеством неограниченным снизу. Термин «множество неограниченное снизу» означает, что каково бы ни

X : m min X . Если в множестве есть наименьшее число, то оно единственно.

Пример. а) множество чисел X 1; 3; 8; 17 ограничено снизу числом 1, причем это число 1 является наименьшим;

б) множество X – множество всех неотрицательных чисел x (т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству x 0 ) тоже является ограниченным снизу и его наименьшим значением является число 0 ;

в) множество Y – множество всех положительных чисел y (т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству y 0 ) тоже является ограниченным снизу числом 0 , но множество Y не имеет наименьшего, так как число 0 не принадлежит Y. При этом число 0 является наибольшим из всех чисел, ограничивающих множество Y снизу, а элементы y множества Y в силу свойств плотности и непрерывности действительных чисел могут быть сколь угодно близки к числу 0 , оставаясь больше его;

г) множество D – множество всех отрицательных чисел неограниченно снизу, так как какое бы отрицательное число ни взять, найдется еще меньше число.

Определение 3. Подмножество X множества всех действительных чисел R называется ограниченным сверху, если существует такое число b b R , что оно не меньше каждого

Множество, не являющееся множеством ограниченным сверху, называют множеством неограниченным сверху. Термин «множество неограниченное сверху» означает, что каково бы ни было сколь угодно большое положительное число b , в данном множестве обязательно найдется еще большее число.

2

z .

Ясно, что чисел ограничивающих множество снизу (сверху) может быть много.

Определение 5. Наибольшее число среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X R , называется нижней гранью (или инфимумом) множества X и обозначается через inf X (инфимум - от латинского слова infimum – наименьший).

Например, для множества Y - множества всех положительных чисел нижней гранью является число 0, а для множества всех натуральных чисел N нижней гранью является число 1, оно является и наименьшим.

Определение 6. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множествоX R , называется верхней гранью (или супремумом) множества X и обозначается через sup X (супремум – от латинского слова supremum – наибольший).

Например, для множества всех отрицательных чисел число 0 является верхней гранью.

Если в множестве существует наименьшее (наибольшее) число, то оно является нижней (верхней) гранью этого множества. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Множества, приведенные под номерами 1 и 2, называют полуоткрытыми промежутками, множества под номерами 3, 4, 5, 6, 7 называют неограниченными промежутками, причем множество под номером 7 есть множество всех действительных чисел R.

Определение 7. Множество всех действительных чисел x , удовлетворяющих двойному неравенству a x a , где 0 , называют - окрестностью точки a.

Этот факт можно записать следующим образом x a . Для любых двух неравных действительных чисел a и b существуют непересекающиеся - окрестности.

Числовое множество X называют симметричным относительно начала координат, если этому множеству вместе с числом x принадлежит и ему противоположное число x , то есть, если x X , то и x X .

Примерами таких множеств являются множества под номерами 7, 8, 9, а так же множество всех рациональных чисел Q и множество [ 5; 1) (1; 5] и т.д.

Вопросы и задания

1.Записать определения ограниченного снизу, ограниченного сверху, ограниченного множества. Привести примеры таких множеств. Что такое наименьшее (наибольшее) число множества?

2.Дать опеределение нижней грани (инфимума), верхней грани (супремума).

3.Что такое - окрестность точки a? Изобразить на числовой прямой Ox - окрестность точек A(2), В(3) так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались. Указать возможные значения для каждого из случаев.