Линейная алгебра.

Определители (детерминант)

Назовем определителем число, записанное в виде квадратной таблицы чисел.

Число элементов в строке (колонке) называют порядком определителя.

Для определителя справедливы 2 правила:

1. Это правило эквивалентных преобразований.

2. Правило раскрытия по строке (колонке).

1. Правило эквивалентных преобразований:

Если в определителе какую-то строку умножить на число не равное нулю (столбец) прибавить к другой строке (столбцу), то мы получим определитель эквивалентный данному.

Пример:

2. Правило раскрытия по строке:

Каждый определитель порядка n может быть представлен в виде суммы произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгебраическим дополнениемA_ij к элементу a_ij назовем произведение (-1)^i+jM_ij, где M- минор.

Минором, построенным по элементу a_ij , называется определитель порядка (n-1), полученный из исходного путем вычеркивания i строки и j столбца.

Пример:

M₁₁=|1|

Если в каком-то определителе есть строка (колонка), состоящая из нулей, то определитель равен нулю.

Определитель 2-го порядка равен разности произведений к элементу главной диагонали (СЗ, ЮВ) и элементов побочной диагонали (СВ, ЮЗ)

Примеры:

Матрицы

Матрицой называют прямоугольную таблицу чисел.

Алгебра матриц

Сложение:

Умножение:

Правило согласованности размерности матриц при умножении:

Количество столбцов 1-го сомножителя равняется количеству строк 2-го.

Чтобы получить элемент произведения двух матриц _ij мы должны умножить i строчку 1-го сомножителя на j столбец 2-го и результаты сложить.

Пример:

Е- единичная матрица

Это квадратная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные нули.

₁₁=1+1+1=3

₁₂=3

₂₁=0

₂₂=0

Для всякой квадратной матрицы можно посчитать определитель.

Если главный определитель квадратной матрицы ноль, то матрица называется выражденной.

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.

Вычисление обратной матрицы

Доказательство:

A₁₁=(-1)¹⁺¹*3=3

A₁₂=-2

A₂₁=-1

A₂₂=1

Ранг матрицы

Ранг (rang) А- размерность наибольшего отличного от нуля определителя, содержащегося в матрице А.

Min (m,n)- максимально возможный порядок определителя.

Пример:

Системы линейных уравнений

Это система, у которой m уравнений и n неизвестных

Общий видсистемы линейных уравнений

Матричная запись системы (10)

Допущения:

А- квадратная, невырожденная

А^-1Ax=A^-1B x=A^-1B (11) (решение системы 10)

1. Если количество неизвестных больше числа уравнений, то последнее (лишнее неизвестное) переходит в разряд параметров и переносится в правую часть.

2. Если основная матрица вырожденная, то отбрасывается последнее уравнение до тех пор, пока она не станет невырожденной.

Теорема Кронекера- Капелли:

Система(10) имеет решения тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы (rang A= rang A), если при этом эти ранги совпадают с числом неизвестных n, то решение единственно. Если меньше n, то решений бесконечно много.

Векторная алгебра

Y

a₂

^a

^

0 a₁ X

Умножение вектора на число:

Сложение и вычитание:

Умножение векторов^:

а) Скалярное произведение:

коммутативно

б) Векторное произведение (3-х мерное):

i,j,k- орты осей координат

Свойство антикоммутативности

Геометрический определитель второго порядка равен длине векторного произведения векторов, составленных из строк данного определителя.

Геометрическое смешенное произведение:

Оно равно объему параллелепипеда, построенного на исходных векторах.

Аналитическая геометрия

5 Видов уравнения на плоскости прямой.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Y=kx x=0 y=0

(0,0) (x₁, kx₁)

(x₂, kx₂)

Y=kx+b

(1)

2. Общие уравнения

Kx-y+b=0

A B C

Ax+By+C=0

(2)

Общее уравнение прямой на плоскости

3. Уравнение в отрезках

Ax+By=-C

a b

4. Уравнение прямой через две заданные точки

(x₀, y₀) (x, y)

5. Нормальное уравнение прямой

y

0 x

расстояние от (0,0) доl

- угол между  и осью

z

Нормальное уравнение плоскости в пространстве

Нормальный вид уравнения плоскости в пространстве:

Ax+By+Cz+D=0 (7)

Уравнение прямой в пространстве или множество точек в пространстве задается двумя уравнениями плоскости в пространстве.

Дифференциальное исчисление

Теория пределов

Предел последовательности

X- область определения

Y- область значений

- для любого

- существует

- единственный

- следует

Функция- закон, по которому для любого элемента x из множества X существует единственный y из множества Y.

Y

y^*

y*

x* x*

R 0 X

y**

не функция

Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел с нулем

Множество целых чисел

Множество рациональных чисел

R- Множество всех периодических десятичных дробей

Xn=(-1)ⁿ 1,-1,1,-1…- гармонический ряд, ряд Эйлера

Свойства последовательности, имеющих пределы.

1)

2)

Доказать:

3)

Определение предела последовательности:

Xn монотонно возрастает с строгом (нестрогом) смысле

Xn монотонно убывает в строгом (нестрогом) смысле

Xn ограничена, если для всех n

Xn ограничена сверху

Xn ограничена снизу

Точкой верхней границы Xn supXn (infXn) называется наименьшая из верхних границ (наибольшая из нижних границ)

a=supXn

b=infXn

Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности

Пусть последовательность Xn монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху.

Xn

Существует конечный предел ограниченной последовательности

Доказательство:

Докажем, что

бесконечно большая величина

бесконечно малая величина