Teoria_veroyatnostey / Тема 01

Тема № 1 «ВЕРОЯТНОСТЬ»

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Случайное явление характеризуется тем, что при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта при одних и тех же условиях протекает каждый раз несколько по-иному,

поэтому предсказать исход такого явления невозможно. Примерами случайных явлений являются выпадение орла при подбрасывании монеты,

попадание в цель при выстреле, результат измерения какой-либо величины, длительность безотказной работы прибора и так далее. Следует заметить, что теория вероятностей занимается изучением не самих случайных явлений, а их математических моделей.

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Методы теории вероятностей и математической статистики широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: физике, химии, биологии, экономики, геологии и так далее.

Жорж Бюффон (1707 – 1788) – французский натуралист, биолог,

ОПЫТ С ПОДБРАСЫВАНИЕМ БУТЕРБРОДА

Роберт Мэтьюс (опыт 1995 года) – английский физик:

ДОСКА ГАЛЬТОНА

Фрэнсис Гальтон (1822 – 1911) – английский исследователь,

географ, антрополог и психолог.

Опытом (экспериментом или испытанием) будем называть осуществление конкретного комплекса условий. Например, опыт заключается в подбрасывании монеты или игральной кости. Всякий

результат опыта называется событием (или исходом).

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдѐт в условиях данного опыта. Невозможным называется событие, которое в условиях данного опыта не может произойти. Случайным называется событие, которое в результате опыта может, как произойти, так и не

произойти.

Взаимоисключающие события, которые невозможно разложить на более простые события, называют элементарными. Все остальные события называются составными (или разложимыми). Множество всех элементарных событий в условиях данного опыта называется

пространством элементарных событий. Событием является любое

Достоверное событие совпадает с множеством и также обозначается .

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются

совместными. Несколько событий называются попарно-несовместными,

если любые два из них несовместны. Несколько событий образуют полную группу, если они попарно-несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Суммой двух событий A и B называется событие, обозначаемое

A B или A B , состоящее в появлении хотя бы одного из событий A и B , то есть

A B { ( A) ( B)}.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в

появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий A и B называется событие,

обозначаемое A B или A B , состоящее в совместном появлении

событий A и B , то есть

A B { ( A) ( B)}.

Произведением нескольких событий называется событие, которое

состоит в совместном появлении всех этих событий.

Разностью событий A и B называется событие, обозначаемое

A B или A \ B , состоящее в том, что событие A произошло, а событие

B не произошло, то есть

A B { ( A) ( B)}.

Противоположным событию A называется событие A , которое состоит в том, что событие A не произошло, то есть A A .

Событие A влечѐт событие B , если из того, что произошло событие A , следует, что произошло и событие B , то есть A B . События

A и B называются эквивалентными, если A B и B A .

Для иллюстрации событий используют диаграммы Эйлера-Венна

(рис. 1), изображающие операции над множествами.

Рис. 1. Диаграммы Эйлера-Венна.

Пусть – пространство элементарных событий. Совокупность

Числовая функция P , определѐнная на множестве событий F ,

называется вероятностью, если выполнены следующие условия (аксиомы вероятности):

А1. Множество F является алгеброй событий.

А2. P( A) 0 , A F .

А3. P( ) 1.

А4. Если A F и B F несовместны, то P(A B) P( A) P(B) .

А5. Для любой монотонно убывающей последовательности

A1 A2 An

событий из F такой, что

An ,

n 1

справедливо равенство

lim P( An ) 0 .

n

Если F является не только алгеброй событий, но и – алгеброй, то тройка , F, P называется вероятностным пространством.

равновероятными элементарными исходами определяется:

1)пространством элементарным событий с конечным числом элементарных исходов 1, 2 , , n ;

2)множеством F всех подмножеств множества ;

3) вероятностью P( A) p( i ) , где суммирование выполняется

число всех элементарных исходов испытания. Такое определение называется классическим определением вероятности. В этом определении предполагается, что все элементарные исходы опыта несовместны и равновозможны.

Пример 1. В кармане у Маши лежат 3 сладких яблока и 7 кислых яблок. Маша наугад вынимает одно яблоко и съедает его. Какова вероятность того, что Маша съела сладкое яблоко?

Пусть событие A состоит в том, что Маша съела сладкое яблоко.

Воспользуемся классическим определением вероятности. Всего у Маши было 10 яблок (общее число элементарных равновероятных исходов), из них 3 сладких яблока (число элементарных исходов благоприятных событию A ). Тогда вероятность события A

P( A) 103 . ▲

Пример 2. Бросили три монеты. Какова вероятность, что выпадут два орла и одна решка?

Пусть A – событие, состоящее в выпадении двух орлов и одной решки. Положим, что каждая монета равновероятно может упасть либо орлом, либо решкой. Тогда возможны следующие результаты этого опыта:

Число всех элементарных исходов опыта (строк в таблице) n 8.

Число элементарных исходов благоприятных событию A (выделенные строки таблицы) m 3. Тогда по формуле (1) получаем

P( A) 83 . ▲

Пример 3. Бросили две игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадет одинаковое количество очков?

Пусть A – событие, состоящее в выпадении одинакового числа очков на двух костях. Положим, что на каждой кости с равной вероятностью может выпасть: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Возможны следующие результаты такого опыта:

где в каждой паре (i, j) число i – количество очков на первой кости, j –

на второй.

Число всех элементарных исходов опыта (ячеек в таблице) n 36 .

Число элементарных исходов благоприятных событию A (выделенных ячеек таблицы) m 6. Следовательно,

P( A) 366 16 . ▲

Абсолютно непрерывное вероятностное пространство , F, P с

равновероятными элементарными исходами определяется:

1)пространством элементарным событий , являющимся

квадрируемой областью точек x (x1, x2 , , xn ) евклидова пространства

является длина, при n 2 и n 3 – площадь и объѐм, соответственно); 2) множеством F всех квадрируемых областей A ;

В этом пространстве вероятность попадания в область A наудачу поставленной в области точки, при условии равновозможности осуществления каждого элементарного исхода, определяется по формуле

определяемая этой формулой, называется геометрической вероятностью.

Пример 4. В квадрат наудачу поставлена точка. Какова вероятность,

что эта точка окажется внутри круга, вписанного в этот квадрат?

Пусть событие A состоит в том, что точка, поставленная наудачу в квадрат, оказалась внутри вписанной в этот квадрат окружности.

Обозначим длину стороны квадрата 2a , тогда радиус вписанной в этот квадрат окружности равен a . Площадь квадрата (области ) равна 4a2 , а

площадь вписанного в него круга (области A ) a2 .

Подставляя площади квадрата и вписанной окружности в формулу

(2) геометрической вероятности находим

P( A) a2 . ▲

4a2 4

Пример 5 (задача о встрече). Два приятеля договорились встретиться между 1200 и 1300 . Пришедший первым ждѐт другого не более 10 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится, если время прихода каждого приятеля в течении указанного часа случайно.

Пусть x – время прихода первого, а y – время прихода второго приятеля. Будем считать, что x и y меняются от 0 до 1 (один час,

отведѐнный на встречу). В прямоугольной декартовой системе координат