Векторы, практическое занятие

Векторы, практическое занятие.

Пример 1.

В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ заданы векторы, совпадающие с его ребрами: .

Построить каждый из следующих векторов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Получим:

Пример 2.

Проверьте на коллениарность векторы:

Установить какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены относительно друг друга.

Решение.

Так как координаты этих векторов пропорциональны( ), то коллениарны.

, значит вектор длиннее в 3 раза, чем вектор .

Так как отношение всех их координат равно , то есть меньше 0, то данные векторы разнонаправлены.

Пример 3.

Определить при каких значениях векторы:

коллениарны.

Решение.

коллениарны при условии что все их координаты имеют одинаковые отношения, то есть:

Ответ:

Пример 4.

Доказать что точки: А(3;-1;2), B(1;2;-1), C(-1;1;-3), D(3;-5;3) служат вершинами трапеции.

Решение.

Найдем следующие векторы:

Легко доказать, что коллениарны, а значит AB и DC параллельны и что, не коллениарны, а значит AB и СD не параллельны.

А так как имеются 4 прямые, две из которых параллельны, а остальные две – нет и пересекают параллельные прямые, то они образуют трапецию, что и требовалось доказать.

Пример 5.

Определить, при каком значении , векторы взаимно перпендикулярны.

Решение.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0, верно и обратное, значит, для того чтобы были взаимно перпендикулярны нужно чтобы их скалярное произведение равнялось 0, получим:

Ответ:

Пример 6.

Даны векторы ,

Найти координаты векторных произведений:

1. 

2. 

Решение.

1. 2

2

=det = .

2. 

Ответ: 1) = .

2).

Пример 7.

Даны вершины треугольника ABC: A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Определите его угол B.

Решение.

, = {7;0;1}

и в тоже время

Получим: , далее найдем :

и .

Подставив полученные данные в выражение , получиим

.

Ответ: .

Пример 8.

Даны векторы: . Вычислить проекцию вектора на направление .

Решение.

, обозначим , .

.

, , .

Подставив полученные данные в исходную формулу, получим:

.

Проекция = =

Ответ: проекция вектора на направление равно .

Задания для самостоятельного решения.

1. Даны вершины четырехугольника: A(1;-2;2), B(1;4;0), C(-4;1;1), D(-5;-5;3). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2. Вычислить образованный векторами .

3. Вектор коллениарен и образует острый угол с осью OZ, зная, что , найти его координаты.

4. Найти вектор .

5. Точки A(1;2;0), B(3;0;-3), C(5;2;6) образуют треугольник. Вычислить площадь треугольника ABC.