Комплексные числа. примеры

Комплексные числа

Пример 1.

Указать, какие линии определяются этими уравнениями:

а) .

б) .

в) .

г) .

Решение:

а) .

Пусть , тогда

.

= .

.

,

.

Ответ: - окружность с центром в точке с координатами (0,5, 0) и радиусом 0,5.

б) .

Пусть , тогда

.

.

.

.

.

,

,

.

Ответ: - графиком является гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой четверти координатной плоскости.

в) .

Пусть , тогда

.

.

.

Ответ: - окружность с центром в начале координат и радиусом .

г) .

Пусть , тогда

.

.

= .

.

- возведем полученное уравнение в квадрат

,

- возведем ещё раз в квадрат, получим

,

– разделим обе части уравнения на 192,

.

Ответ: - каноническое уравнение эллипса.

Пример 2.

Построить множество точек на плоскости комплексной переменной z, которая определяется заданными условиями.

а) .

б).

в) .

г) .

д)

Решение.

а) .

Пусть , тогда

.

.

- Возведем систему в квадрат, получим

Ответ:

б) .

Пусть , тогда

.

.

= .

.

.

Ответ:

в) .

Пусть , тогда

.

Ответ:

г) .

Пусть , тогда

.

.

,

.

Ответ:

д)

Пусть , тогда

.

= .

.

.

,

Решим первое неравенство системы:

,

- возведем обе части неравенства в квадрат.

- раскрываем скобки, приводим подобные, получаем

.

Решим второе неравенство системы:

,

- возведем обе части неравенства в квадрат, получим

- ещё раз возведем в квадрат.

256

В итоге получаем систему

Ответ:

8