Понятие n-мерного евклидова пространства

Лекция №30.

1. Понятие n-мерного евклидова пространства.

Пусть V – вещественное или комплексное линейное пространство. Отображение называется скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим аксиомам :

;

1. 

2. (

3. 

4. 

5. 

Число называют скалярным произведением , (1-5) аксиомы скалярного произведения.

Замечание.

В вещественном случае черта первой аксиомы может быть опущена.

Определение.

Вещественное, линейное пространство со скалярным произведением, называют евклидовым пространством, а комплексное – унитарным.

Е – евклидово пространство;

V – унитарное пространство.

Пример.

Доказать, что векторное пространство М, элементами которого являются матрицы размеры m на n становится евклидовым пространством, если для и

, положить .

Достаточно проверить, что определена (1) и удовлетворяет четырём аксиомам скалярного произведения.

1. 

2. 

3. 

4. 

, если все элементы , где θ – нулевая матрица.

Выполнены все аксиомы скалярного произведения, то есть равенство (1) даёт скалярное произведение в векторном пространстве евклидово пространство.

Из аксиом следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов можно умножить скалярно на другую линейную комбинацию векторов по правилу :

(2).

можно многими способами превратить в евклидово пространство.

фиксирован базис , то имеют в нем расположение

.

даёт

(3).

Матричная форма.

;

;

.

Матрица Г- (матрица Грамма) матрица базиса

Матрица базиса и Г базиса e, связаны соотношением.

, (5) где Т – матрица перехода от е к е΄.

Длина в линейном пространстве

, (6).

Нормировать ненулевой вектор, значит, заменить его , (7).

Углом между ненулевыми векторами Е_n называется угол β определяемый соотношением :

, , (8).

называются ортогональными, если

Система векторов называется ортогональной, если в ней все векторы попарно ортогональны.

Система вектором называется ортонормированной, если она ортогональна и в ней все векторы нормированы.

Базис называется ортогональным базисом, если его векторы попарно ортогональны. Если кроме того, векторы этого базиса имеют одинаковую длину, то он называется ортонормированным.

2. Ортогонализация Грамма – Шмидта.

От любой линейно независимой системы векторов евклидова пространства можно перейти к ортогональной системе ненулевых векторов состоящей так же из n векторов. Такой переход осуществляется с помощью процесса ортогонализации Грамма- Шмидта.

Положим,

Найдём .

.

Следовательно,

, (9).

3. Изоморфизм линейных пространств.

Два линейных пространства V и U называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, выполняемое условием :

Сумме векторов линейного пространства U соответствует сумма соответствующих векторов линейного пространства V.

Произведение числа на вектор линейного пространства U соответственно равен произведению того же числа на соответствующий вектор V.

Изоморфизм – это взаимно однозначное соответствие сохранения линейной операции.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Линейные евклидова пространства называют изоморфными, если между их векторами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, такое, что выполняется следующее требование:

1)Это соответствие является изоморфным соответствием между , которые в свою очередь рассматриваются как линейные пространства.

2) При этом соответствии сохраняется скалярное произведение, то есть, если образами из Е служат соответственно

из Е΄, то , (10).

Теорема.

Любые Е и Е΄ имеющие одну и ту же размерность n – изоморфны между собой.

Доказательство:

Выберем в пространствах Е и Е^' ортонормированные базы

(11) и соответственно (12).

Ставя в соответствие всякому вектору , из Е вектор ,из Е΄ имеющий в базисе те же координаты, что и вектор в своём базисе, мы получим очевидное изоморфное соответствие между линейными пространствами Е и Е΄ . Покажем что выполняется равенство (10), если :

, .

И учитывая ортонормированность баз (11) и (12), получим:

.

Естественно изоморфные евклидовы пространства не считаются различными. Поэтому для всякого n существует единое n-мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякого n существует единственное n-мерное действительное линейное пространство.