Задания на первый семестр

10

Задания для студентов-сокращёнников заочного отделения 1 курса 2012-2013 г.г. (группы сзУПТС-11, сзУПТС-12) по предмету: „Программирование и основы алгоритмизации“

Студент выполняет задания, номера которых указаны напротив его ФИО в приведенной ниже таблице. Тексты задач приведены ниже.

№	ФИО	№№ заданий
1	Бейбулатова Светлана Ивановна	1, 38, 75, 3, 45, 82
2	Бойко Алексей Михайлович	2, 39, 76, 4, 46, 83
3	Будеркин Дмитрий Сергеевич	3, 40, 77, 5, 47, 84
4	Васильев Роман Константинович	4, 41, 78, 6, 48, 85
5	Веткасов Дмитрий Юрьевич	5, 42, 79, 7, 49, 86
6	Гладкий Алексей Алексеевич	6, 43, 80, 8, 50, 87
7	Говорухин Андрей Михайлович	7, 44, 81, 9, 51, 88
8	Долматов Андрей Андреевич	8, 45, 82, 10, 52, 89
9	Захаров Алексей Юрьевич	9, 46, 83, 11, 53, 90
10	Зверев Александр Викторович	10, 47, 84, 12, 54, 91
11	Корешков Александр Викторович	11, 48, 85, 13, 55, 92
12	Коршунова Маргарита Сергеевна	12, 49, 86, 14, 56, 93
13	Красноштан Владимир Александрович	13, 50, 87, 15, 57, 94
14	Кристофович Никита Валерьевич	14, 51, 89, 16, 58, 95
15	Куприянов Николай Николаевич	15, 52, 90, 17, 59, 96
16	Ларин Дмитрий Сергеевич	16, 53, 91, 18, 60, 97
17	Маврин Александр Романович	17, 54, 92, 19, 61, 98
18	Махова Юлия Сергеевна	18, 55, 93, 20, 62, 99
19	Мельников Никита Андреевич	19, 56, 94, 21, 63, 100
20	Мельников Сергей Олегович	20, 57, 95, 22, 64, 101
21	Мещеряков Валерий Алексеевич	21, 58, 96, 23, 65, 102
22	Михайлов Иван Алексеевич	22, 59, 97, 24, 66, 103
23	Муслумов Валерий Русланович	23, 60, 98, 25, 67, 104
24	Наумов Анатолий Анатольевич	24, 61, 99, 26, 68, 105
25	Погребнов Виталий Сергеевич	25, 62, 100, 27, 69, 106
26	Проскурняк Сергей Михайлович	26, 63, 101, 28, 70, 107
27	Солейник Егор Алексеевич	27, 64, 102, 29, 71, 108
28	Томилко Павел Николаевич	28, 65, 103, 30, 72, 109
29	Фадейкин Сергей Дмитриевич	29, 66, 104, 31, 73, 110
30	Филиппенко Кирилл Олегович	30, 67, 105, 32, 74, 20
31	Чеканов Евгений Васильевич	31, 68, 106, 33, 75, 21
32	Чекменев Альберт Анатольевич	32, 69, 107, 34, 76, 22
33	Ширяева Ольга Александровна	33, 70, 108, 35, 77, 23
34	Шулятьева Ирина Сергеевна	34, 71, 109, 36, 78, 24
35		35, 72, 110, 37, 79, 25
36		36, 73, 1, 38, 80, 26
37		37, 74, 2, 39, 81, 27
38		38, 75, 3, 40, 82, 28
39		39, 76, 4, 41, 83, 29
40		40, 77, 5, 42, 84, 30
41		41, 78, 6, 43, 85, 31
42		42, 79, 7, 44, 86, 32
43		43, 80, 8, 45, 87, 33
44		44, 81, 9, 46, 88, 34
45		45, 82, 10, 47, 89, 35
46		46, 83, 11, 48, 90, 36
47		47, 84, 12, 49, 91, 37
48		48, 85, 13, 50, 92, 38
49		49, 86, 14, 51, 93, 39
50		50, 87, 15, 52, 94, 40
51		51, 88, 16, 53, 95, 41
52		52, 89, 17, 54, 96, 42
53		53, 90, 18, 55, 97, 43
54		54, 91, 19, 56, 98, 44
55		55, 92, 20, 57, 99, 45
56		56, 93, 21, 58, 100, 46
57		57, 94, 22, 59, 101, 47
58		58, 95, 23, 60, 102, 48
59		59, 96, 24, 61, 103, 49
60		60, 97, 25, 62, 104, 50
61		61, 98, 26, 63, 105, 51
62		62, 99, 27, 64, 106, 52
63		63, 100, 28, 65, 107, 53
64		64, 101, 29, 66, 108, 54
65		65, 102, 30, 67, 109, 55

1. Напечатать все простые числа, не превосходящие заданное число М.

2. Задан массив А(М) из М из попарно различных чисел. Напечатать все перестановки этих чисел.

3. Ввести вещественное число А и натуральное k. Вычислить и напечатать A^k с выполнением следующих условий: операцией возведения в степень пользоваться нельзя; k может оказаться настолько большим, что недопустимо выполнять k умножений.

4. В написанном выражении ((((1?2)?3)?4)?5)?6 вместо знака ? вставить знак одной из четырех арифметических операций + – * /, так чтобы результат вычислений равнялся 35 (при делении дробная часть в частном отбрасывается). Достаточно найти одно решение.

5. Дан двухмерный целочисленный массив А(2,N). Известно, что среди его элементов два и только два равны между собой. Напечатать их индексы.

6. Можно ли заданное натуральное число М представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел? Написать программу решения этой задачи.

7. Даны натуральное число М и целочисленный массив А(М). Сосчитать и напечатать, сколько различных чисел в этом массиве. Например, в массиве 5,7,5 различных чисел два (5 и 7).

8. Составить программу вывода всех трехзначных десятичных чисел, сумма цифр которых равна данному целому числу.

9. Целое неотрицательное число М задано массивом своих двоичных цифр a₀, a₁, a₂, … a_n-1:

M= a_n-1 2^n-1 + a_n-1 2^n-2+…+ a₁ 2+a₀

где a_i=0 или a_i=1 (i=0, …, n-1). Напечатать массив двоичных цифр числа М+1.

10. В массиве X(M,N) все числа различны. В каждой строке выбирается минимальный элемент, затем среди всех этих чисел выбрать максимальное. Напечатать номер строки массива Х, в котором расположено это число.

11. В массиве Х(N) каждый элемент равен 0,1 или 2. Переставить элементы массива так, чтобы располагались все нули, затем все единицы и, наконец, все двойки (дополнительного массива не заводить).

12. Функция f (n) для целых неотрицательных n определена:

f (0)=0, f (1)=1, f (2n)= f (n), f (2n+1)= f (n)+ f (n)

Для данного найти и напечатать f (N). Обязательное условие: N столь велико, что недопустимо заводить массив из N чисел (равно как и массив, длина которого растет с ростом N)

13. Найти минимальное число, которое представляется суммой четырех натуральных чисел не единственным образом.

    Вывести число n и заполнить массив размером nn натуральными числами от 1 до n2 по спирали.

14. Напечатать все четырехзначные натуральные числа, в десятичной записи нет двух одинаковых цифр. Обобщить данную задачу для n мерного числа.

15. Заданы число N и целочисленный массив A(N). Найти длину самой длинной последовательности подряд идущих элементов массива, равных нулю.

    На квадратном клетчатом листе бумаги (размера 100100 клеток) нарисовано несколько прямоугольников. Каждый прямоугольник состоит из целых клеток, различные прямоугольники не накладываются друг на друга и не соприкасаются (см. рисунок). Задан массив 100100, в котором aij=1, если клетка (i,j) принадлежит какому либо прямоугольнику, и aij=0 в противном случае. Написать программу, которая сосчитает и напечатает число прямоугольников.

16. Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

17. Даны целочисленный массив A(N) и число M. Найти такое множество A(i₁), A(i₂), … A(i_k), (1 i₁  i₂  i_k N), что A(i₁) + A(i₂) + … + A(i_k)=M. Предполагается, что такое множество заведомо существует.

18. Дан одномерный массив. Все его элементы, не равные нулю, переписать (сохраняя их порядок) в начало массива, а нулевые элементы – в конец массива (новый массив не заводить).

19. Даны числа M,N и двухмерный массив размером MN. Некоторый элемент этого массива назовем седловой точкой, если он является наименьшим в своей строке и наибольшим в столбце. Напечатать номера строки и столбца какой-нибудь седловой точки и напечатать число 0, если такой точки нет.

20. Даны числа N,K и два целочисленных массива X(N) и Y(K). Можно ли в первом из них выбрать такие K идущих подряд элементов X_i+1, X_i+2, … X_i+k, чтобы X_i+1=Y₁, X_i+2=Y₂, … X_i+k=Y_k,? Написать программу, которая решает данную задачу и и печатает ответ ДА или НЕТ.

21. Бит-реверс. Целое положительное число M записывается в двоичной системе счисления и разряды (в это записи) переставляются в обратном порядке. Получившееся число принимается за значение функции B(M). Напечатать значения B(M) для M =512, 513, 514, … , 1023. Вот, для ясности, начало этой распечатки: 1, 513, 257, … ,1023.

22. Треугольник и точка. Заданы прямоугольные координаты x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ вершин треугольника и координаты x, y точки. Определить и напечатать, находится ли точка в треугольнике. Погрешностями вычислений пренебречь.

23. Лабиринт. Может ли путник выйти из лабиринта? Если может, то напечатать путь от выхода до начального положения путника. Лабиринт задан массивом А размером 4040 в котором: А_км=0 если клетка (К, М) «проходима»; А_км=1 если клетка (К, М) «не проходима». Начальное положение путника задается в проходимой клетке (I, J). Путник может перемещаться из одной клетки в другую, если они имеют общую сторону. Путник выходит из лабиринта, когда попадает в граничную клетку (то есть (К, М), где К или М равны 1 или 40).

24. Пила. Задан массив X(N). Найти длину К самой длинной «Пилообразной (зубьями вверх)» последовательности идущих подряд чисел: Х_р+1< Х_р+2> Х_р+3< …> Х_р+k.

25. Сократить дробь. Даны натуральные числа M и N. Найти такие натуральные числа M1 и N1, не имеющие общего делителя, что M1/N1=M/N.

26. Инверсия. Пусть P=(p₁, …p_n) является перестановкой чисел 1, 2, … , n. Таблицей инверсии перестановки Р называют последовательность T= (t₁, … , t_n), в которой t_i равно числу элементов перестановки Р, стоящих (в Р) левее числа i и больше числа i. Например, для перестановки Р=(5, 9, 1, 8, 2, 6, 4, 7, 3) чисел (1, 2, … , 9) таблица инверсии Т= (2, 3, 6, 4, 0, 2, 2, 1, 0). Написать программу, которая по заданной таблице инверсий восстанавливает перестановку.

27. Дорога. Даны натуральные числа N 2 и M и вещественный массив A(M,M,N-1). Найти минимальное значение суммы R=A(,1) + A(i₂,i₃,2) + … +A(i_N-1,i_N,N-1) для всевозможных наборов чисел 1 i₁, i₂, … , i_N  М.

Пояснение. Числа M, N – величины порядка несколько десятков. Поэтому неприемлемо решение с числом действий порядка M^N.

30. Совершенные числа. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей, включая 1. Напечатать все совершенные числа, меньшие заданного М.

31. Период дроби. Введите натуральные числа M и N и напечатать период десятичной дроби M/N. Например, для дроби 1/7 период будет (142857), а если дробь конечная, то ее период состоит из одной цифры 0.

32. Слияние массивов. Даны два числа M, N и два упорядоченных массива a₁  a₂  … a_M и b₁  b₂  …  b_N . Образовать из этих элементов упорядоченный массив с₁  с₂  …  с_M+N.

33. Календарь. Заданны три числа А, В, С которые обозначают число, месяц и год. Найти номер N указанного дня с начала года.

Указание: високосные годы – это те, у которых номер делится на 400, и, те, у которых номер делится на 4, но не делится на 100.

34. Квадратики. Дан массив A(M,N), каждый элемент которого равен 0, 1, 5 или 11. Подсчитать в нем количество четверок A(i,j), A(i+1,j), A(i, j+1), A(i+1,j+1), в каждой из которых все элементы различны.

35. Написать программу нахождения самой тяжёлой и самой легкой из 100 монет различной массы, если можно сделать не более 150 взвешиваний на чашечных весах без гирь. Какое минимальное число взвешиваний надо сделать, чтобы гарантированно определить искомые монеты?

36. Составить программу, проверяющую, является ли данное число n простым. Если введённое число не простое, то должен быть возвращён его делитель.

37. Составить программу, выдающую все целые делители натурального числа n.

38. На числовой оси живёт Кузнечик, который умеет прыгать на 1 и на 4 вправо и влево. В точках с координатами 0, 4, 8, 12 и т.д. ему находится нельзя, потому что в них он будет съеден лягушками. Составить программу, которая находила бы способ, как Кузнечику попасть из точки с координатой a в точку с координатой b ровно за N прыжков. Если это сделать невозможно, должно быть выведено соответствующее сообщение.

39. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), называется совершенным. Например, числа 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14 – совершенные числа. Составить программу поиска всех совершенных чисел среди натуральных от 1 до N (N =210⁹).

40. Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Составить программу, проверяющую это предположение для произвольного нечетного числа от 0 до 200000.

41. Пара чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого числа (не считая самого числа), называются дружественными. Например, числа 220 и 284 – дружественные. Леонард Эйлер нашел в XVIII в. 65 пар дружественных чисел. Составить программу поиска дружественных чисел в диапазоне от 0 до 2000000.

42. Даны натуральные числа M и N. Написать программу, которая найдет наименьшие натуральные числа m и n, что m/n=M/N.

43. Среди 2n+1 различных по массе монет нужно найти среднюю (которая тяжелее n монет и легче оставшихся n монет). Напишите программу, которая сделает это не более чем за 100n взвешиваний на чашечных весах без гирь.

44. Заданы два массива чисел длины n и m (n>m) соответственно. Составить программу, определяющую, можно ли вычеркнуть некоторые элементы из большего массива, чтобы получить меньший. (Порядок элементов в массивах роли не играет).

45. Заданы два массива чисел длины n и m (n>m) соответственно. Составить программу, определяющую максимальное число k такое, что путём вычеркивания некоторых элементов из данных массивов можно получить два одинаковых массива длины k. (Порядок элементов в массивах роли не играет).

46. Задачу про ханойские башни по преданию придумали буддийские монахи. Они занимались перекладыванием 64 колец. Согласно легенде, в момент, когда они кончат складывать кольца, наступит конец света. Считая, что на перекладывание одного кольца необходимо 1 секунду, оценить, когда наступит конец света.

47. Составить программу нахождения первых n простых чисел.

48. Составить программу, проверяющую предположение: «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» для чисел от 0 до 200000.

49. Составить программу, выдающую все четные числа от 4 до 200000, которые нельзя представить в виде суммы двух простых чисел.

50. Задана целочисленная прямоугольная матрица. Составить программу, получающую новую матрицу следующим образом: в каждом столбце исходной матрицы элементы заменяются суммой элементов из строк, расположенных ниже (последняя строка должна стать нулевой). Размер матрицы большой и заводить вспомогательную матрицу такого же размера не представляется возможным.

51. Задана целочисленная прямоугольная матрица. Составить программу, получающую новую матрицу следующим образом: в каждой строке исходной матрицы элементы заменяются суммой элементов из предыдущих столбцов (первый столбец должен стать нулевым). Размер матрицы большой и заводить вспомогательную матрицу такого же размера не представляется возможным.

52. Написать программу, получающую из заданной последовательности чисел длины N все числа, которые входят в нее по одному разу.

53. Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. Составить программу поиска чисел-близнецов от 5 до 200000.

54. Элемент последовательности называется локальным максимумом, если у него нет соседа, большего, чем он сам. Аналогично элемент последовательности называется локальным минимумом, если у него нет соседа, меньшего, чем он сам. Составить программу, подсчитывающую число локальных максимумов и локальных минимумов и последовательности длины n.

55. Элемент последовательности называется локальным максимумом, если у него нет соседа, большего, чем он сам. Аналогично элемент последовательности называется локальным минимумом, если у него нет соседа, меньшего, чем он сам. Составить программу, подсчитывающую число локальных максимумов и локальных минимумов и последовательности длины n.

56. Напишите программу порождения всех перестановок целых чисел от 1 до n.

57. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

58. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

59. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

60. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы

61. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы

62. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

63. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы

64. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

65. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

66. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

67. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

68. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

69. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

70. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы

71. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы для любого заданного a.

72. Напишите оптимальную по быстродействию программу для вычисления значения суммы

73. Дано натуральное n, вычислить n!

74. Даны два натуральных числа a и b, не равные нулю одновременно. Вычислить НОД (a,b) - наибольший общий делитель а и b.

75. Составить программу, печатающую квадраты всех натуральных чисел от 0 до заданного натурального n.

76. Составить программу, печатающую разложение на простые множители заданного натурального числа n > 0 (другими словами, требуется печатать только простые числа и произведение напечатанных чисел должно быть равно n; если n = 1, печатать ничего не надо).

77. Проверить, является ли заданное натуральное число n > 1 простым.

78. Дано натуральное n. Подсчитать количество решений неравенства x*x + y*y < n в натуральных (неотрицательных целых) числах, не используя действий с вещественными числами.

79. Даны натуральные числа а и b, причем b > 0. Найти частное и остаток при делении а на b, оперируя лишь с целыми числами и не используя операции целочисленного деления и нахождения остатка от деления, за исключением деления на 2 четных чисел; число шагов не должно превосходить C1*log(a/b) + C2 для некоторых констант C1, C2.

80. Подсчитать количество нулей в массиве x. (Составить фрагмент программы, не меняющий значения x, после исполнения которого значение некоторой целой переменной k равнялось бы числу нулей среди компонент массива x.)

81. Дан массив x длины n из целых чисел, причём x[1] <= x[2] <= ... <= x[n]. Найти количество различных чисел среди элементов этого массива.

82. Дан массив x [1]..x[n] целых чисел. Не используя других массивов, переставить элементы массива в обратном порядке.

83. Дан массив целых чисел x[1]..x[m+n], рассматриваемый как соединение двух его отрезков: начала x[1]..x[m] длины m и конца x[m+1]..x[m+n] длины n. Не используя дополнительных массивов, переставить начало и конец. (Число действий порядка m+n.)

84. Коэффициенты многочлена хранятся в массиве a: array [0..n] of integer (n - натуральное число, степень многочлена). Вычислить значение этого многочлена в точке x (т. е. a[n]*(x в степени n)+...+a[1]*x+a[0]).

85. В массивах a:array [0..k] of integer и b: array [0..l] of integer хранятся коэффициенты двух многочленов степеней k и l. Поместить в массив c: array [0..m] of integer коэффициенты их произведения. (Числа k, l, m - натуральные, m = k + l; элемент массива с индексом i содержит коэффициент при x в степени i.)

86. Даны два возрастающих массива x: array [1..k] of integer и y: array [1..l] of integer. Найти количество общих элементов в этих массивах (т. е. количество тех целых t, для которых t = x[i] = y[j] для некоторых i и j). (Число действий порядка k+l.)

87. Даны два неубывающих массива x: array [1..k] of integer и y: array [1..l] of integer. Найти число различных элементов среди x[1],...,x[k], y[1],...,y[l]. (Число действий порядка k+l.)

88. Даны два массива x[1] <= ... <= x[k] и y[1] <= ... <= y[l]. "Соединить" их в массив z[1] <= ... <= z[m] (m = k+l; каждый элемент должен входить в массив z столько раз, сколько раз он входит в общей сложности в массивы x и y). Число действий порядка m.

89. Некоторое число содержится в каждом из трех целочисленных неубывающих массивов x[1] <= ... <= x[p], y[1] <= ... <= y[q], z[1] <= ... <= z[r]. Найти одно из таких чисел. Число действий должно быть порядка p + q + r.

90. Дан неубывающий массив положительных целых чисел a[1] <= a[2] <=...<= a[n]. Найти наименьшее целое положительное число, не представимое в виде суммы нескольких элементов этого массива (каждый элемент массива может быть использован не более одного раза). Число действий порядка n.

91. Дан массив a[1..n] и число b. Переставить числа в массиве таким образом, чтобы слева от некоторой границы стояли числа, меньшие или равные b, а справа от границы - большие или равные b.

92. Дан массив a[1]..a[n] и число m<=n. Для каждой группы из m стоящих рядом членов (таких групп, очевидно, n-m+1) вычислить ее сумму. Общее число действий должно быть порядка n.

93. Дана квадратная таблица a[1..n][1..n] и число m<=n. Для каждого квадрата размера m на m в этой таблице вычислить сумму стоящих в нем чисел. Общее число действий должно быть порядка n*n.

94. Написать программу, которая печатала бы все перестановки чисел 1..n по одному разу.

95. Перечислить все представления положительного целого числа n в виде суммы последовательности невозрастающих целых положительных слагаемых.

96. Имеется последовательность символов x[1]..x[n]. Определить, имеются ли в ней идущие друг за другом символы "abcd". (Другими словами, требуется выяснить, есть ли в слове x[1]..x[n] подслово "abcd".)

97. Дано натуральное n, вычислить n! (0!=1, n! = n * (n-1)!).

98. Дано натуральное n, вычислить 1/0!+1/1!+...+1/n!.

99. Даны два натуральных числа a и b, не равные нулю одновременно. Вычислить НОД (a,b) - наибольший общий делитель а и b.

100. Даны натуральные а и b, не равные 0 одновременно. Найти d = НОД (a,b) и такие целые x и y, что d = a*x + b*y.

101. Составить программу, печатающую квадраты всех натуральных чисел от 0 до заданного натурального n.

102. Составить программу, печатающую разложение на простые множители заданного натурального числа n > 0 (другими словами, требуется печатать только простые числа и произведение напечатанных чисел должно быть равно n; если n = 1, печатать ничего не надо).

103. Дано натуральное n. Подсчитать количество решений неравенства x*x + y*y < n в натуральных (неотрицательных целых) числах, не используя действий с вещественными числами.

104. Подсчитать количество нулей в массиве x. (Составить фрагмент программы, не меняющий значения x, после исполнения которого значение некоторой целой переменной k равнялось бы числу нулей среди компонент массива x.)

105. Дан массив x: array [1..n] of integer, причём x[1] <= x[2] <= ... <= x[n]. Найти количество различных чисел среди элементов этого массива.

106. В массивах a:array [0..k] of integer и b: array [0..l] of integer хранятся коэффициенты двух многочленов степеней k и l. Поместить в массив c: array [0..m] of integer коэффициенты их произведения. (Числа k, l, m - натуральные, m = k + l; элемент массива с индексом i содержит коэффициент при x в степени i.)

107. Даны два возрастающих массива x: array [1..k] of integer и y: array [1..l] of integer. Найти количество общих элементов в этих массивах (т. е. количество тех целых t, для которых t = x[i] = y[j] для некоторых i и j).

108. Дан массив x: array [1..n] of array [1..m] of integer, упорядоченный по "строкам" и по "столбцам":