lect1

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.

б) Число z = 2 − 2 3i представим в виде z = r(cosϕ+i sin ϕ) , где

Элементы высшей алгебры.

Основные понятия теории множеств.

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементами множества.

а М

111

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обзначается .

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А

В

А В

Определение. Если А В, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом А ≠ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А В.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.

A A; A A;

A B B C → A C;

A B B C → A C;

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

A = B ↔ A B B A.

Здесь знак обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

Операции над множествами.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.

Обозначается С = А В.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется

диаграммой Эйлера – Венна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.

Обозначение С = А ∩ В.

112

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

А С В

Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Обозначается С = А \ В.

АВ

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.

Обозначается А В.

А В = (A \ B) (B \ A)

A B

Определение. СЕ называется дополнением множества А относительно множества Е, если А Е и CЕ = Е \ A.

113

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

A E

Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.

A \ B = A \ (A ∩ B)

Из записанных выше соотношений видно, что

A \ (A ∩ B) = (A \ A) (A \ B) = (A \ B) = A \ В

Что и требовалось доказать.

Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна

A∩B

114

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.

A \ (B C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

Если некоторый элемент х А \ (В С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.

Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.

Множество (A \ B) ∩ (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.

Таким образом, тождество можно считать доказанным.

Отношения и функции.

Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.

Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение: (a,b) = (c, d) ↔ a = c b = d;

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где а А, b B.

A× B ={(a,b) a A; b B}

Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.

Определение. n – мерным отношением R на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn) R, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным.

Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2.

Свойства бинарных отношений.

Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество

{(x, y) z(z A) (x, z) R (z, y) S}

Знак | называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.

Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:

115

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

R−1 = {(x, y) ( y, x) R}

Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:

Алгебраические структуры.

Определение. На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c A выполняется свойство ассоциативности: a(bc) = (ab)c

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:

ae = ea = a

3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что

aa′ = a′a = e

Различные множества могут являться группой относительно какойлибо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов называется порядком группы.

Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.

Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, b M и соответствующим им элементам a’, b’ N элементу с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.

116

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.

Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется

коммутативной или абелевой группой.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с R справедливы равенства:

a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca;

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a≠ 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.

Дискретная математика.

Элементы комбинаторики.

Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.

Рассмотрим подробнее эти три типа соединений:

1) Перестановки.

Определение. Если в некотором множестве a1 , a2 ,..., am переставлять местами

элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается Pm и вычисляется по формуле:

Pm = m!

2) Размещения.

Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.

Общее число таких размещений расчитывается по формуле:

Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.

117

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

3) Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

Общее число сочетаний находится по формуле:

Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.

Если среди т элементов имеется т1 одинаковых элементов одного типа, т2 одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно

10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно А302 = 30 29 = 870 .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

Бином Ньютона. (полиномиальная формула)

В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.

Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

n

(a +b)n = an +Cn1 an−1b +Cn2 an−2b2 +... +bn = ∑Cni an−i bi

i=0

118

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

Cnk - число сочетаний из п элементов по k.

Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

Пример. В разложении (xk + y p )n найти члены, содержащие хα, если k=3, p=2, n=8, α=9.

По фомуле бинома Ньютона имеем: (xk + y p )n = ∑n Cni (xk )n−i (y p )i

i=0

C учетом числовых значений:

(x3 + y 2 )8 = ∑8 C8i x3(8−i) y2i

i=0

Впринципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля

(степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х9.

Находим: С85 x9 y10 = 5!8!3! x9 y10 = 83726 x9 y10 = 56x9 y10

119

Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть1.”

Пример. В разложении (x + y + z + w)m найти члены, содержащие xγ. т=9, γ=6.

По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:

Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.

Рассмотрим возможные значения этих величин:

Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1)Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или P .

120