6.2 Амплитудная модуляция

6.2.1 Ам – сигнал

При амплитудной модуляции невозмущенный носитель

преобразуется в АМ – сигнал

,

где - несущая частота,

- начальная фаза,

- амплитуда невозмущенного носителя,

- часть амплитуды АМ – сигнала, зависящая от первичного сообщения и передающая измерительную информацию.

В линейном приближении

,

где - коэффициент, определяемый параметрами амплитудного модулятора, то есть устройства, реализующего процедуру амплитудной модуляции, и поэтому в общем случае

6.2.2 Однотональная модуляция

Рассмотрим в начале простейший случай однотональной модуляции, когда - низкочастотное (по отношению к несущей частоте) синусоидальное колебание. АМ - сигнал принимает вид:

В этом случае отношение

называется индексом или коэффициентом амплитудной модуляции, характеризующим глубину модуляции носителя. На рис. 6.5 представлены графики следующих сигналов:

• первичное сообщение ,

• несущее колебание E(t),

• АМ – сигнал с индексом модуляции ,

• АМ – сигнал с перемодуляцией .

Графики на рисунках ясно показывают, что первичное сообщение преобразуется в узкополосный сигнал со средней частотой, равной частоте сигнала – носителя. Огибающая этого сигнала повторяет по форме первичное сообщение, поэтому детектирование сигнала сводится к выделению огибающей с помощью преобразования Гильберта.

Сложности возникают при перемодуляции. Здесь первичное сообщение уже не совпадает с огибающей модулированного сигнала. Различие заключается только в полярности сигнала.

Чтобы уловить более тонкие особенности модулированного сигнала при наличии перемодуляции, на рис. 6.5 внизу в увеличенном виде изображены графики:

• сигнала – носителя (точечный график),

• модулированного сигнала (сплошная линия),

• огибающей сигнала (сплошная линия).

После достижения нуля огибающая начинает вновь возрастать, между тем как первичное сообщение все еще убывает (штриховая линия на последнем графике рис. 6.5). Одновременно с этим в данной точке происходит изменение на π фазы модулированного сигнала по отношению к сигналу - носителю. Если раньше модулированный сигнал и сигнал – носитель колебались синхронно, то в дальнейшем они изменяются в противофазе. Это изменение фазы может быть использовано для изменения полярности огибающей на обратную в момент, когда она достигает нулевого значения.

Для получения спектра однотонального АМ – сигнала раскроем скобки в его представлении и выполним некоторые тригонометрические операции, предварительно приравняв нулю начальные фазы:

Сигнал состоит, таким образом, из трех гармонических колебаний:

• несущее колебание с частотой ,

• два колебания с частотамисоответственно.

Эти две частоты называются боковыми частотами или частотами – спутниками. Спектр однотонального АМ – сигнала представлен на рис.6.6. Спектр состоит из трех линий: на несущей частоте и на двух боковых частотах. Для верхней боковой частоты фаза первичного сообщения складывается с фазой несущего колебания, а для нижней боковой частоты – вычитается.

6.2.3 Спектральное представление ам – сигналов

Пусть теперь - реализация случайного стационарного сигналас нулевым средним значением и корреляционной функцией. Модуляция осуществляется синусоидальным колебанием, в общем случае, со случайной начальной фазой. Тогда модулированный сигнал имеет вид:

.

Будем считать, что начальная фаза не зависит от сообщенияи распределена равномерно в интервале.

Корреляционная функция модулированного сигнала по определению составляет:

Учитывая, что - центрированный сигнал и поэтомуи что начальная фаза распределена равномерно в интервале от –π до +π, полученное выражение упрощается:

Полученное соотношение устанавливает взаимосвязь между корреляционной функцией исходного сигнала – первичного сообщения и корреляционной функцией модулированного сигнала. Корреляционная функция, как и сам сигнал, подвергается модуляции на той же частоте. Кроме того, корреляционная функция модулированного сигнала не затухает до нуля, но колеблется с частотой несущего колебания, как это и должно быть для узкополосного сигнала. Это говорит о том, что в спектре модулированного сигнала должен присутствовать- импульс Дирака.

Вычислим теперь спектральную плотность мощности АМ – сигнала, считая заранее известной спектральную плотность мощности первичного сообщения:

Заменив произведений косинусов, стоящих под знаками интегралов, на полусуммы косинусов сумм и разностей соответствующих аргументов, можно получить развернутое выражение для спектральной плотности АМ – сигнала:

Используя свойства преобразования Фурье и интегральные выражения для δ – функций, получим окончательно:

Спектральная плотность мощности АМ – сигнала состоит, таким образом, из двух δ – импульсов на частотахи двух копий спектральной плотности мощности первичного сообщения, перенесенных на те же два значения несущей частоты. На рис. 6.7 представлены графики спектральных плотностей мощности:

- для первичного сообщения,

- для АМ – сигнала при несущей частоте 400 рад/с,

- для АМ – сигнала при несущей частоте 100 рад/с.

Видно. что при модуляции спектр первичного сообщения раздваивается и переносится на несущую частоту. На спектрах модулированных сигналов видны δ – всплески на несущей частоте. При малой несущей частоте полного раздвоения спектра не происходит. Хвосты смещенных спектров перекрываются, и результирующий спектр уже меньше походит на спектр первичного сообщения.

Теперь вычислим мощность, то есть дисперсию модулированного АМ – сигнала. Для этого воспользуемся равенством Парсеваля:

Учитывая свойства δ – функций и то обстоятельство, что

,

окончательно получим для мощности АМ – сигнала следующее выражение:

Отсюда наглядно видно, что основная доля мощности передаваемого АМ - сигнала приходится на мощность несущего колебания, бесполезного в информационном отношении. Мощность первичного сообщения занимает в общей мощности только очень малую долю. Поэтому иногда используется амплитудная модуляция с подавленной несущей, когда АМ – сигнал принимает вид

.

Ясно, что при этом возникает явление перемодуляции, но это может быть учтено при детектировании сигнала.