8.3.3 Системы базисных функций Уолша

Базисные функции систем Уолша отличаются тем, что имеют форму прямоугольных колебаний и принимают только значения, равные ±1. По этой причине функции системы Уолша наиболее просто реализуются средствами цифровой вычислительной техники. Основой построения систем базисных функций Уолша являются функции Радемахерас интервалом определения. Функции Радемахера определяются следующим образом:

Здесь sign(x) – функция знака, принимающая значения +1 или –1 в зависимости от знака аргумента.

При построении функции Радемахера порядкаk интервал ее определения 0 – 1 разбивается на подинтервалов и на каждом из них функция Радемахера принимает значение +1 или –1. Первые шесть функций Радемахера представлены на рис. 8.8. На концах интервалов имеют место разрывы первого порядка, причем в точках разрыва функции Радемахера считаются непрерывными справа.

Система функций Радемахера является ортонормированной, но она не полна, поскольку можно обнаружить функции, например , не входящие в эту систему, но ортогональные всем функциям этой системы. Такие функции не могут быть представлены разложением в обобщенный ряд Фурье по системе функций Радемахера, поскольку все спектральные коэффициенты обратятся в нуль. Дополняя систему функций Радемахера их различными произведениями, можно построить несколькополных систем базисных функций, которые называются системами базисных функций Уолша. К ним относятся системы ортонормированных базисных функций Пэли, Адамара, Хармута и ряд других.

Система Уолша – Пэли отличается тем, что получаемые в ней спектры широкого класса непрерывных сигналов сходятся быстрее всего, то есть спектральные коэффициенты убывают наиболее быстро с ростом номера коэффициента. В системе Уолша – Пэли каждая базисная функция Уолша с номером i равна произведению функций Радемахера с номерами, совпадающими с номерами двоичных разрядов в двоичном представлении числа i, содержащих единицу. Если n – разрядное двоичное представление числа i имеет вид:

,

где k – номер разряда, начиная с младшего, то функция Уолша с номером i должна быть записана в виде:

.

Так, например, шестая функция Уолша (6 = LL0) определяется как

.

Порядок ее определения представлен на рис. 8.9. Если номерi является степенью числа 2, то двоичное представление числа i содержит только одну единицу, и соответствующая функция Уолша совпадает с одной из функций Радемахера.

На рис 8.10 представлены графики функций Уолша – Пэли до шестого порядка включительно.

Ряд Фурье – Уолша для сигнала ,имеет вид:

, а спектр Уолша .

Ограничиваясь конечным числом членов разложения в ряд, мы получаем приближенное выражение для исходного сигнала.

Пример

Найти спектр Уолша и аппроксимирующий ряд из семи членов разложения в ряд Фурье – Уолша сигнала на промежутке времени, гдеT=0,1 c.

Расчет спектра Уолша:

Спектр Уолша для данного сигнала имеет вид:

.

Аппроксимирующий ряд из первых семи членов, включая нулевой, составляет:

На рис. 8.11 изображены графики сигналаи аппроксимирующего ряда. На рисунке четко виден характер приближения измерительного сигнала рядом Фурье – Уолша. Основная особенность заключается в том, что исходный аналоговый сигнал заменяется ступенчатой линией, которая вьется вокруг сигнала.

118