8.3 Системы ортогональных базисных функций

В сигнальном пространстве можно построить различные системы ортогональных базисных функций. Однако спектральному анализу сигналов в различных системах функций соответствует различная интерпретация результатов и различная техническая реализация средств информационно – измерительной техники. Поэтому имеет смысл рассмотреть и сравнить друг с другом различные системы ортогональных базисных функций.

8.3.1 Система тригонометрических базисных функций

Система тригонометрических базисных функций имеет следующий вид:

Построенная таким образом система функций является ортонормированной на интервале и ее использование приводит нас к разложению сигналов по обыкновенным тригонометрическим рядам Фурье.

8.3.2 Система полиномов Лежандра

Полиномы Лежандра порядка n вычисляются как производные:

Полиномы Лежандра порядков с 0-го до 6-го выражаются следующими формулами:

Полиномы не совпадающих друг с другом порядков попарно ортогональны и имеют мощность

,

поэтому соответствующие ортонормированные полиномы Лежандра принимают следующий вид:

На рис. 8.4 представлены графики первых семи полиномов Лежандра после их деления на корень квадратный из мощности, то есть после ортонормирования, включая и полином нулевого порядка. Они отличаются от полиномов Чебышева только тем, что их максимумы увеличиваются к концам диапазона, в остальном они ведут себя похожим образом.

Полиномы Лежандра замечательны тем, что среди всех других полиномов данной степени с одинаковым старшим членом они имеют наименьшее среднее квадратическое отклонение от нуля.

Если измерительный сигнал задан на интервале 0<t<T, то система полиномов Лежандра приводится к этому интервалу подстановкой

.

Наоборот, сам сигнал перед разложением в ряд по полиномам Лежандра можно привести к интервалу –1<τ<+1 с помощью подстановки

.

Поэтому спектральные коэффициенты разложения сигнала на интервале 0<t<T в обобщенный ряд Фурье по полиномам Лежандра вычисляются как:

Пример

Сигнал представляет собой отрезок синусоиды на интервале 0<t<T, где T=0,01 с – период колебаний:

.

После замены переменных был произведен расчет спектра сигналапо полиномам Лежандра:

Таким образом, спектр сигнала имеет вид:

На рис. 8.5 представлен сам исходный сигнал и суммы первых двух, четырех и шести членов разложения в ряд Фурье по полиномам Лежандра. Если сумма двух членов разложения (прямая линия) еще существенно отличается от исходного сигнала, то сумма четырех членов дает вполне приличное приближение. Ряд Фурье из шести членов практически полностью совпадает с сигналом, так что различия на глаз уже не различимы. Погрешность представления сигналарядом Фурье с шестью членами в виде их разности представлена на рис. 8.6.

Из графика на рис. 8.6 видно, что погрешность только на концах диапазона немного превышает сотую долю амплитуды сигнала. Для сравнения на рис. 8.7 представлены графики того же самого сигнала и его представление в виде степенного ряда Тейлора с шестью членами разложения, то есть тоже в виде полинома шестой степени. Ясно видно, что если в середине диапазона приближение вполне приличное, то на концах диапазона различие уже достигает половины амплитуды.