8.2 Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье

Два сигнала в линейном гильбертовом сигнальном пространстве с метрикой и нормой называютсявзаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

.

Пусть задан некоторый ансамбль сигналов . Выбираем в сигнальном пространстве координатный базис таким образом, чтобы все базисные сигналы были попарно ортогональны на отрезке. Так выбранный базис называется системой ортогональных базисных функций. Для двух любых базисных функций из этой системы имеет место равенство:

,

где- мощность сигнала,

- символ Кронекера.

Система базисных функций называется ортонормированной, если все эти функции ортогональны, а их мощности равны единице. Очевидно, что любую систему ортогональных базисных функций можно сделать ортонормированной, если все эти функции поделить на корни квадратные из их мощности.

Произвольный сигнал конечной длительности в линейном сигнальном пространстве можно представить в виде линейной комбинации ортогональных базисных функций:

.

Такое представление сигнала называется обобщенным рядом Фурье в данной системе ортогональных базисных функций.

Набор коэффициентов образуетспектр сигнала в системе ортогональных базисных функций. Спектр полностью определяет сигнал. Во многих случаях преобразования сигналов значительно упрощаются, если их проводить не над самими сигналами, а над их спектрами в специально выбранных системах базисных функций. Поскольку спектр состоит из набора чисел, то для проведения самых различных преобразований можно использовать средства цифровой вычислительной техники.

Для определения j-го спектрального коэффициента следует вычислить скалярное произведение сигнала с соответствующей базисной функцией:

Отсюда следует, что спектральные коэффициенты сигналав системе ортогональных базисных функцийдолжны определяться как

При представлении сигнала в системе ортогональных базисных функций всегда приходится ограничиваться некоторым конечным числом N членов ряда. Получаемый при этом сигнал

называется аппроксимирующим рядом. Погрешность аппроксимации

характеризуется дисперсией погрешности, равной

.

Представление сигнала в виде обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных базисных функций замечательно тем, что по мере увеличения числа N аппроксимирующего ряда погрешность аппроксимации всегда только уменьшается. При имеет местои тогда. При этом аппроксимирующий ряд становится бесконечным – обобщенным рядом Фурье.

Для обобщенного ряда Фурье справедливо равенство Парсеваля:

Это еще раз подчеркивает математическое равноправие двух форм представления сигнала: сигнала в виде функции времени и сигнала в виде спектра. Левая часть равенства Парсеваля – это мощность сигнала, как функции времени, правая часть равенства – это мощность сигнала, представленного своим спектром.

Таким образом, обобщенный ряд Фурье для сигнала на конечном интервале времениT в ортогональной системе базисных функций имеет вид:

сигнал в форме ряда Фурье,

спектр сигнала,

равенство Парсеваля.

Если ряд Фурье ограничен конечным числом N членов ряда, то равенство Парсеваля нарушается и средняя квадратическая погрешность (стандартное отклонение погрешности) приближения сигнала конечным рядомсоставляет.

По итогам рассмотренных положений можно сделать следующие выводы.

1. Обобщенный ряд Фурье позволяет представить любую реализацию случайного сигнала из данной реализации как сумму произведений детерминированных функций времени на систему соответствующим образом выбранных спектральных коэффициентов.

2. На множестве реализаций случайного сигнала спектральные коэффициенты являются случайными величинами. Система случайных спектральных коэффициентов как система случайных величин описывается

• вектором математических ожиданий спектральных коэффициентов,

• вектором дисперсий спектральных коэффициентов,

• матрицей моментов взаимной корреляции спектральных коэффициентов.

3. Множество сигналов из ансамбляимеет мощность континуума. Множество спектральных коэффициентов является, по крайней мере, счетным. Это значительно упрощает анализ случайных сигналов, заданных в форме спектр.

4. Спектральные коэффициенты могут служить информативными параметрами сигнала.

5. Система ортогональных базисных функций определяет каноническое разложение случайного сигнала, если спектральные коэффициенты для данного ансамбля являются случайными некоррелированными величинами.

Определенный интерес имеет рассмотрение двух следующих вопросов:

• выбрать, исходя из некоторых свойств ансамбля реализаций случайного сигнала, систему ортогональных базисных функций таким образом, чтобы совокупность спектральных коэффициентов была не коррелированной,

• отыскать такую систему ортогональных базисных функций, в которой последовательность спектральных коэффициентов наиболее быстро убывает с ростом индекса спектрального коэффициента.