8 Обобщенные ряды Фурье

8.1 Сигнальное пространство

Мы уже видели, что каждая реализация измерительного сигналаx(t) является результатом чьего-то выбора (рис. 8.1) из некоторого конечного или бесконечного множества сигналов . Множество сигналовX(t), на котором определена вероятностная мера, называется ансамблем сигналов. Наличие различных реализаций в ансамбле позволяет сигналу переносить информацию о первичном сообщении.

Одним из наиболее плодотворных путей построения ансамблей сигналов считается использование методов функционального анализа – раздела математики, который обобщает наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства.

Пусть - множество сигналов, образующих ансамбль. Они объединены в единое множество в силу некоторых общих причин, порождающих все возможные первичные сообщения об измеряемом свойстве изучаемого объекта. Это может быть, например, множество всех непрерывных сигналов, отличных друг от друга на интервале времени 0 –T, или множество синусоидальных сигналов со случайной фазой (рис. 8.2).

Говорят, что множество сигналов наделено определенной структурой, если имеется возможность выражать одни элементы множества через другие, например, с помощью соотношения . Множество, наделенное структурой, образует пространство.

Множество М сигналов образует вещественное линейное сигнальное пространство, если для сигналов, входящих в это множество, выполняются следующие условия:

• если сигнал , то в любой момент времени он может принимать только вещественные значения,

• если и α – вещественное число, то,

• если, , то,

• множество М содержит нулевой сигнал такой, что.

Совокупность сигналов называетсялинейно независимой, если равенство

выполняется только в том случае, когда все . Совокупность линейно независимых сигналов образуеткоординатный базис линейного сигнального пространства М и все сигналы x(t) из этого пространства могут быть представлены в виде разложения по элементам базиса:

Линейное сигнальное пространство L называется нормированным, если в нем можно ввести норму – число, которое характеризует «длину» или «величину» сигнала. Норму для сигнала x(t) будем обозначать, как . Норма должна вводиться таким образом, чтобы выполнялись аксиомы линейного нормированного пространства:

1. норма неотрицательна, то есть всегда ,

2. для любого α справедливо равенство ,

3. если , то выполняется неравенство треугольника

.

Чаще всего в качестве нормы будем использовать следующее выражение:

Это – энергетическая норма, поскольку выражение под корнем определяет энергию сигнала.

Линейное сигнальное пространство будем называть метрическим, если каждой паре сигналов поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число. Это число называетсяметрикой или расстоянием между сигналами . Метрика может быть определена по-разному, но она должна удовлетворять следующим аксиомам метрического пространства:

1. - рефлективность метрики,

2. ,

3. - правило треугольника.

Обычно метрика определяется как норма разности сигналов:

.

Тогда и норму сигнала можно определить как расстояние между этим сигналом и нулевым сигналом:

.

Линейное сигнальное пространство, если на нем введена норма и метрика, называется гильбертовым пространством, если на его элементах может быть определено скалярное произведение

,

которое равно взаимной энергии сигналов. При этом должно выполняться условие Коши – Буняковского:

.

Вгильбертовом сигнальном пространстве можно определить не только расстояние между сигналами, но и угол между ними

,

хотя понятие угла между сигналами не имеет наглядной геометрической интерпретации.

Пример

Сигнал x(t) – отрезок синусоиды, нормированный к единице (рис. 80):

.

Найти амплитуду В прямоугольного импульса такой же протяженности, при которой расстояние между этими двумя сигналами будет минимальным.

Для решения задачи запишем выражение для метрики как расстояния между синусоидальным сигналом и прямоугольным импульсом:

Квадрат метрики, да и сама метрика, обратится в минимум при равенстве нулю производной:

откуда следует