4.5 Теорема Винера - Хинчина

Американским ученым Н. Винером и русским математиком А.Я. Хинчиным одновременно и независимо друг от друга было найдено интересное соотношение между корреляционной функцией стационарного эргодического центрированного случайного процесса и его энергетическим спектром. Спектральная плотность мощности (энергетический спектр или спектр дисперсий) стационарного центрированного случайного эргодического сигнала его корреляционная функция связаны друг с другом преобразованием Фурье:

.

Заменим комплексные экспоненты в этих выражениях по формулам Эйлера через тригонометрические функции. Поскольку функция являются четными, то и интегралы от произведенийив бесконечных пределах обращаются в нуль. Произведенияи— функции четные.

Поэтому интегрирование можно провести только для положительных значений аргументов, а результаты удвоить. В результате получаются более комфортные выражения для связи между корреляционной функцией и спектральной плотность мощности стационарного центрированного случайного эргодического сигнала:

Пример.

Сигнал со спектральной плотностью мощности, постоянной вплоть до некоторой граничной частоты, называется низкочастотным белым шумом (рис. 4.12). Его спектральная мощность:

Графики спектральной плотности мощности двух сигналов с граничными частотами представлены на рис. 4.12. Оба сигнала имеют одинаковую мощность, равную 190 ми определяемую как площадь фигуры, образованной графиком спектральной плотности и осью абсцисс, деленной на π=3,141593.

Согласно теореме Винера – Хинчина, корреляционная функция низкочастотного белого шума должна выглядеть следующим образом:

Графики корреляционной функции этих двух сигналов представлены на рис. 4.13. Чем шире частотный спектр сигнала, тем более круто затухает корреляционная функция. В сечениях сигнала, разделенных интервалами времени

,

значения реализаций сигнала не коррелированны, то есть, не зависимы друг от друга. По мере расширения частотного диапазона сигнала эти сечения располагаются все чаще и, в конце концов, корреляционная функция превращается в δ – импульс в начале координат.

64