4.3 Эргодические случайные сигналы

Случайный стационарный сигнал называется эргодическим, если каждая его реализация, достаточно протяженная по времени, несет в себе полную информацию о всем ансамбле реализаций. Дело обстоит таким образом, как будто эту длинную реализацию можно разрезать на несколько частей и их совокупность рассматривать как совокупность реализаций. В этом случае множество значений случайного сигнала в различные моменты времени идентично множеству значений, принимаемых множеством реализаций сигнала в одном сечении.

Свойство эргодичности позволяет получить все характеристики сигнала по одной единственной реализации и не рассматривать ансамбль реализаций. По одной реализации сигнала длительностью Т можно вычислить:

• оценку математического ожидания сигнала

,

• оценку дисперсии сигнала

• автокорреляционную функцию сигнала

Последняя формула нуждается в некоторых комментариях. Если сигнал сдвинуть по времени на величину τ, то окажется, что произведение сигнала на его сдвинутую копию существует только на интервале Т-τ, поэтому и пределы интегрирования выбраны соответствующим образом.

Будем рассматривать только класс стационарных центрированных случайных сигналов, из состава которых удалено математическое ожидание как детерминированная составляющая сигнала. Тогда при достаточно больших Т для выполнения свойства эргодичности должно иметь место равенство ,

то есть усреднение эргодического сигнала по времени равносильно его усреднению по времени.

Оценка дисперсии эргодического сигнала при больших Т должна приближаться к дисперсии сигнала, определенной по ранее введенным правилам

.

Пределом автокорреляционной функции при больших Т должна стать корреляционная функция случайного эргодического стационарного сигнала

.

Это последнее соотношение является наиболее важным, так как позволяет по одной единственной, хотя и достаточно длинной реализации определить корреляционную функцию сигнала, которая полностью характеризует все его свойства.

4.4 Спектральное представление случайных сигналов

При изучении непериодических сигналов мы пользовались их спектральное представление с помощью интеграла Фурье.

Спектральная функция для сигнала x(t) определялась при этом как комплексная функция частоты

,

которая характеризовала распределение амплитуд и фаз по частотам гармонических составляющих сигнала x(t).

При изучении случайных процессов так же желательно определять их спектр, но характеризующий не отдельную реализацию процесса, а весь ансамбль реализаций в целом. Однако при попытке использования аппарата преобразования Фурье к анализу случайных процессов возникает ряд трудностей.

1. Интеграл Фурье существует только для абсолютно интегрируемых сигналов или хотя бы для сигналов, интегрируемых в квадрате, т.е. функция x(t) должна быть такой, чтобы выполнялось условие

2. Однако последний интеграл представляет собой энергию реализации случайного сигнала. Таким образом, преобразование Фурье существует только для реализаций с конечной энергией. Однако стационарные эргодические центрированные процессы (с нулевым средним значением) имеют конечную мощность реализаций, равную дисперсии сигнала:

Они задаются на бесконечном интервале времени , поэтому их энергия должна быть бесконечно велика. Следовательно, преобразования Фурье для них не существует.

3. Реализации таких процессов имеют вид случайных колебаний вокруг среднего (рис. 4.10, верхний график). Площадь под кривой, описывающей квадрат сигнала (мгновенная мощность, нижний график на рис. 4.10), бесконечно велика. Поэтому бесконечно велика и энергия такого сигнала, равная сумме площадей под этими, всегда положительными импульсами.

4. Реализации с конечной энергией должны затухать во времени, то есть должны быть нестационарными. Для каждой такой реализации можно определить спектральную функцию. Однако такая функция почти бесполезна для анализа ансамбля реализаций, поскольку каждая такая реализация для нестационарного, а значит и неэргодического сигнала не является достаточно представительной для описания всего ансамбля.

Выход заключается в отбрасывании спектра фаз и построении функции, характеризующей распределение энергии реализации по ее гармоническим составляющим.

Вначале рассмотрим реализацию сигналаX(t) с конечной энергией, для которой существует спектральная функция . Для каждой реализации сигнала справедлива теорема Парсеваля:

,

где f = /2 — частота в герцах.

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии данной реализации сигнала по оси частот, подобно тому, как спектральная функцияхарактеризует распределение амплитуд по частотам гармонических составляющих сигнала. Назовем ее спектральной плотностью энергии реализации.

После усреднения этой функции по всем реализациям данного процесса получаем спектральную плотность энергии процесса в целом:

Рассмотрим некоторые свойства спектральной плотности энергии сигнала:

а) Данная функция является неотрицательной функцией частоты.

б) Площадь под кривой, отображающей эту функцию, равна математическому ожиданию энергии процесса.

в) Поскольку x(t) — действительная функция, то — четная функция частоты. Поэтому о спектральном составе энергии сигнала можно судить лишь по одной половине графика, построенной, например, для положительных частот.

При анализе стационарных эргодических центрированных сигналов X(t) возьмем одну достаточно длинную реализацию x_T(t) протяженностью Т. Конечная реализация имеет и конечную энергию, поэтому для нее можно определить спектральную функцию X(ω).

Спектральная плотность энергии после усреднения по реализациям одной и той же длины Т имеет вид

Разделив ее на длину реализации, получим спектральную плотность мощности

Предел этого отношения при T определяет спектральную плотность мощности стационарного центрированного случайного сигнала или его энергетический спектр:

Энергетический спектр характеризует распределение мощности реализации сигнала или его дисперсии (что то же самое) по частотам отдельных гармонических составляющих. Энергетический спектр — это неотрицательная четная функция частоты, ограничивающая фигуру, площадь которой равна средней мощности, то есть дисперсии сигнала

Часто используются модели случайных сигналов, в которых спектр отличен от нуля только в некоторой ограниченной полосе частот₁ <  < ₂ или f₁ < f < f₂. Такие сигналы называются сигналами с финитным спектром. Разность частот F = f₂ – f₁ или  = ₂ - ₁ называется шириной спектра. В реальных условиях спектр жестко не ограничен по протяженности. Тогда под шириной спектра понимают ширину той минимальной полосы частот, в которой сосредоточена подавляющая часть (например, 95%) всей мощности сигнала (рис. 4.11).