4.2 Стационарные случайные сигналы

Материал предыдущего раздела позволяет сделать вывод о том, что случайный сигнал можно представить себе в виде суммы двух составляющих:

• относительно медленно изменяющееся во времени математическое ожидание сигнала , характеризующее развитие сигнала в среднем,

• относительно быстро изменяющийся во времени центрированный случайный сигнал , структура которого определяется поведением корреляционной функции.

На рис. 4.7 представлены три реализации случайного сигнала (верхний график) и его разложение на две составляющие.

Одна составляющая представляет собой медленно изменяющийся процесс, изображенный на среднем графике. Это – математическое ожидание сигнала, относительно которого флуктуируют его отдельные реализации.

Н

Рис. 40

а нижнем графике (в увеличенном масштабе) изображено то, что осталось от реализаций сигнала после вычитания из них математического ожидания. Эти кривые, казалось бы, беспорядочно флуктуируют относительно нуля, но в тоже время подчиняются некоторой общей закономерности, описываемой корреляционной функцией сигнала.

Именно эта разновидность случайных сигналов и заслуживает более внимательного рассмотрения, поскольку как раз в ней сосредоточено то, что делает сигнал случайным.

Случайный сигнал называется стационарным, если его математическое ожидание равно нулю, а корреляционная функция зависит только от одного аргумента – расстояния между сечениями:

.

Такие сигналы имеют форму относительно быстрых или медленных колебаний относительно нулевого уровня. Реализации сигнала протекают равномерно во времени, так что начало отсчета времени не имеет значения. Они обладают бесконечной энергией, но конечной мощностью, равной дисперсии сигнала. Чем быстрее затухает корреляционная функция с ростом расстояния между сечениями сигнала, тем быстрее флуктуируют относительно среднего отдельные реализации сигнала. Чем положе протекает корреляционная функция, тем более гладкими являются и реализации сигнала.

Корреляционная функция случайного стационарного сигнала обладает следующими свойствами:

• при аргументе, равном нулю, корреляционная функция принимает значение, равное дисперсии (мощности) сигнала

,

• при любом значении аргумента τ значение нормированной корреляционной функции

• равно коэффициенту корреляции между сечениями случайного сигнала, расположенными на расстоянии τ друг от друга,

• при любом τ значение корреляционной функции удовлетворяет условию

,

• для реально наблюдаемых случайных сигналов при больших расстояниях между сечениями значение корреляционной функции убывает до нуля

,

• корреляционная функция является четной по своему аргументу

,

поэтому имеет смысл графически изображать только часть корреляционной функции, соответствующую положительным значениям τ.

Промежуток времени, в течение которого корреляционная функция убывает до 5% или 10% от своего начального значения, называется интервалом или временем корреляции случайного сигнала.

Для сигнала, корреляционная функция которого изображена на рис. 4.8, интервал корреляции можно принять равным 0,2 секунды. В границах этого интервала сигнал еще как-то «помнит» свои предыдущие значения. Этот факт находит свое выражение в характере протекания его отдельных реализаций, однако уже через 0,2 с сигнал полностью «забывает» свою предысторию и его значения в сечениях, отстоящих друг от друга на большие интервалы времени, уже никак не связаны друг с другом.

Если стационарный сигнал является к тому же и нормальным (гауссовым) сигналом, то его двухмерная плотность распределения имеет вид:

.

На рис. 4.9 представлены формы поверхностей, заданных этим уравнением при значениях нормированной корреляционной функции и.

На рисунках четко видно, что при положительной корреляции (ρ=0,8) с увеличением значения, принимаемого реализацией случайного сигнала в одном сечении, увеличивается ее значение и в соседнем сечении. При отрицательной корреляции эта тенденция изменяется на обратную зависимость. При отсутствии корреляции поверхность, описывающая двухмерную плотность распределения, становится осесимметричной и взаимосвязь между значениями реализаций сигнала в соседних сечениях исчезает.

Таким образом, корреляционная функция дает нам полное описание нормального случайного стационарного сигнала. Как мы сейчас увидим, характер затухания корреляционной функции теснейшим образом связан со спектром мощности сигнала.