4. Случайные сигналы

Случайными или стохастическими называются сигналы, конкретную форму протекания которых предсказать заранее невозможно. Можно лишь с определенными вероятностями предсказать диапазоны, в которых эти сигналы будут находиться в определенные моменты времени. Все характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный характер. В информационно-измерительной технике встречаются два вида сигналов, нуждающихся в вероятностном описании.

Во-первых, это шумы – хаотически изменяющиеся во времени колебания, генерируемые самими устройствами измерительной информационной системы или возникающие в результате воздействия внешних факторов. Шумы накладываются на сигналы, переносящие измерительную информацию, и приводят к увеличению неопределенности результатов измерений. Во-вторых, это все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, приходится прибегать к вероятностным методам.

4.1 Модели случайных сигналов

Математической моделью случайного сигнала является случайный процесс. Случайный процесс – это функция особого рода, отличающаяся тем, что ее значения в любой момент времени являются случайными величинами. До момента регистрации или приема случайный сигнал нужно рассматривать как бесконечную совокупность возможных реализаций, так называемый ансамбль реализаций, подчиняющийся некоторой общей для него статистической закономерности.

На рис 4.1 представлено несколько таких реализаций одного случайного процесса. Будучи зафиксированными, эти реализации становятся уже детерминированными сигналами.

В дальнейшем будем обозначать случайный сигнал как ансамбль возможных реализаций большими буквами X(t), Y(t) а их отдельные реализации – малыми буквами x(t), y(t), так что сигнал x(t) является реализацией случайного сигнала X(t): .

Математическая модель случайного сигнала может представлять собой в простейшем случае описание всех его возможных реализаций с указанием вероятностных характеристик частоты их появления. Сейчас мы рассмотрим несколько таких моделей сигналов.

1. Гармонический сигнал со случайной начальной фазой.

Это сигнал с определенной амплитудой и частотой, но случайной начальной фазой, что связано со случайностью момента начала приема или передачи такого сигнала:

В большинстве случаев начальную фазу можно считать распределенной равномерно в диапазоне от 0 до 2π или от –π до +π, так что плотность ее распределения составляет:

Математическое ожидание случайной фазы в этом случае равно нулю , дисперсия - одной двенадцатой части интервала ее распределения, а стандартное отклонение фазы определяется как корень квадратный из дисперсии. На рис. 4.2 представлены четыре реализации одного случайного процесса, отличающиеся значениями начальной фазы.

Вообще то сигналы такого рода мы отнесли ранее к классу квазидетерминированных сигналов.

2. Случайный телеграфный сигнал

Телеграфным называется сигнал, реализации которого могут принимать только два значения +1 или –1, причем переходы от –1 к +1 или наоборот происходят в случайные моменты времени. Число N переходов, происходящих за время τ, является случайной целочисленной величиной, дискретное распределение вероятностей которого подчиняется закону Пуассона:

.

Параметр распределения λ>0 – неотрицательное число с размерностью частоты, которое и определяет среднюю частоту перепадов уровня сигнала.

Скачки уровня сигнала происходят в случайные моменты времени, поэтому невозможно дать аналитическое описание даже одной реализации сигнала. График для реализации можно изобразить так, как это представлено на рис. 4.3. В данном случае конкретная реализация задается бесконечным множеством одинаково распределенных случайных величин – моментов возникновения перепадов уровня сигнала. Характеристики случайного процесса определяются статистическими свойствами этих случайных величин.

Более общими являются модели случайных сигналов, основанные на использовании многомерных плотностей распределения.

На рис.4.4 представлены три реализации случайного процесса, который мы назовем «процесс изменения температуры в холодильнике после его отключения от сети». Три реализации соответствуют трем холодильникам. Можно считать, что всем холодильникам данного типоразмера свойственны похожие реализации этого процесса. Это объясняется единством механизма, порождающего данный процесс. Для холодильников другого типоразмера и другого завода – изготовителя множество таких реализаций может носить совершенно другой характер и должны быть отнесены к другому процессу.

Таким образом, множество реализаций может быть множеством реализаций одного или нескольких различных случайных процессов и нам нужно найти такой способ описания случайных процессов, который позволил бы отличать их друг от друга и давать некоторую информацию о механизме формирования их реализаций.

Наряду с множеством реализаций данного случайного сигналаX(t) введем понятие множества сечений случайного сигнала .

Под сечением случайного сигнала будем понимать множество значений, которые принимают различные реализации сигнала в один и тот же момент времени . Эти значения можно считать реализациями случайной величины. Таким образом, значения случайного сигнала в любой момент времениявляются случайными величинами, зависящими от времени. Зависимость от времени проявляется как зависимость от времени плотности распределения этой случайной величины и, следовательно, таких числовых характеристик как математическое ожидание или дисперсия. Более тонкая структура случайного сигнала описывается многомерными плотностями распределения.

1. Одномерную плотность распределения случайного сигнала в сечении будем обозначать, где буквасимволизирует те значения, которые могут принимать отдельные реализации случайного сигнала в момент времени. Это говорит о том, что плотность распределения является теперь функцией времени. Через плотность распределения определяются вероятности типа

,

то есть бесконечно малые вероятности события, заключающегося в том, что в момент времени случайный сигналпримет некоторое значение, лежащее в бесконечно малом интервале отдо. С помощью этих элементарных вероятностей можно вычислить интервальные вероятности – вероятности того, что случайный сигнал в момент временипримет некоторое значение в интервале отдо:

.

Плотность распределения позволяет определить числовые характеристики сечений случайного процесса – его математическое ожидание и дисперсию:

В этих двух выражениях индекс j можно опустить и считать, что математическое ожидание и дисперсия случайного сигнала в отличие от случайной величины зависят от времени.

Плотность нормального распределения приходится теперь записывать в виде:

В примере на рис. 37 математическое ожидание сигнала как мера середины зоны рассеивания реализаций растет, причем этот рост экспоненциально затухает со временем, а дисперсия как мера рассеивания реализаций относительно математического ожидания со временем уменьшается.

Зная математическое ожидание и дисперсию сигнала, можно построить изменяющуюся во времени зону возможных значений сигнала

.

В

X(t)

нутри этой зоны значения сигнала распределены случайно в соответствии с особенностями плотности распределения. Коэффициентзависит от выбора доверительной вероятности Р – вероятности того, что в каждый данный момент времени реализация остается в пределах этой зоны. Для нормально распределенного случайного процессапри доверительной вероятностиP=95 %.

На рис. 4.5 показаны для примера три реализации случайного сигнала и зона его возможных значений. Одна из реализаций вышла вниз за пределы зоны. Это сработали те самые 5 %, которых не достает доверительной вероятности Р=95 % до 100 %.

В качестве экспериментальной оценки (точечной оценки, приближенного значения) для математического ожидания и дисперсии по полученным в эксперименте N значениям N реализаций сигнала X(t) в каждом конкретном сечении используют среднее значение сигнала и его стандартное отклонение

Индекс j у моментов времени здесь так же можно опустить.

2. Двухмерную плотность распределения случайного сигнала в двух произвольных сеченияхиобозначим. Двухмерная плотность позволяет определить элементарные вероятности типа

Это вероятности событий, заключающихся в том, что реализация случайного сигнала в сечении , приняв некоторое значение, лежащее в бесконечно узком интервале отдов сечениипримет значение, лежащее в бесконечно узком интервале отдо.

Теперь совместная вероятность того, что в сечении реализация случайного сигнала примет значение, лежащее между, а в сечении- значение, лежащее между, определится как

.

Двухмерная плотность одна определяет значения двух математических ожиданий и двух дисперсий сразу в двух сечениях случайного сигнала и:

и отсюда вроде бы следует, что двухмерная плотность не дает никаких других сведений о структуре случайного сигнала кроме тех, которые содержатся в одномерной плотности.

На самом же деле здесь появляется возможность построения еще одной интересной характеристики случайного сигнала – его корреляционной функции

.

Корреляционная функция характеризует степень тесноты, близости связи между значениями сигнала в двух его любых сечениях ик некоторой функциональной связи.

Для большей иллюстративности этого свойства корреляционной функции вводится понятие нормированной корреляционной функции или коэффициента корреляции Пирсона между сечениями. Коэффициент корреляции получается делением корреляционной функции на произведение стандартных отклонений в соответствующих сечениях:

.

Коэффициент корреляции Пирсона может принимать значения из интервала от –1 до +1. При корреляции, близкой к –1 или +1 значения, принимаемые реализацией случайного сигнала в двух сечениях, тесно взаимосвязаны.

На рис 4.6 представлены три совокупности из 1000 значений, принимаемых тысячей реализаций трех случайных сигналов в двух сечениях при различных коэффициентах корреляции, но одинаковых одномерных плотностях распределения в этих сечениях. Абсцисса каждой точки – это значение, принимаемое одной из тысячи реализаций случайного сигнала в сечении. Ее ордината – это значение, принимаемое той же реализацией в сечении. При малых коэффициентах корреляции ρ=0,5 или ρ=-0,5 зависимость между этими значениями очень слабая, при ρ=0,9 – достаточно сильная, чтобы можно было с уверенностью утверждать – чем большепо сравнению с математическим ожиданием в этом сечении, тем большим будет ипо сравнению с математическим ожиданием во втором сечении.

Если моменты времени обозначить через, где,а τ считать расстоянием по времени между сечениями, то корреляционную функцию можно записать в виде . Так записанная корреляционная функция обладает следующими очевидными свойствами:

- для совпадающих сечений t=s, то есть при τ=0, корреляционная функция равна дисперсии этого сечения

,

- при любом расстоянии τ между сечениями имеет место соотношение

,

- при увеличении расстояния между сечениями корреляционная функция убывает до нуля

,

- корреляционная функция является четной функцией расстояния между сечениями

.

Случайный сигнал называется нормальным или гауссовым, если двухмерная плотность его распределения для двух любых сечений процесса, разделенных интервалом протяженностью τ, описывается выражением:

Окончательно по этому разделу можно сделать следующие выводы:

1. Одномерное распределение значений сигнала позволяет определить две числовые характеристики сигнала – его математическое ожидание и дисперсию. Зависимость математического ожидания от времени характеризует в среднем форму развитие сигнала во времени. Дисперсия дает информацию о том, насколько значения отдельных реализаций сигнала в каждом сечении отличаются от соответствующих математических ожиданий.

2. Двухмерная плотность распределения позволяет определить еще одну характеристику сигнала – его корреляционную функцию. Корреляционная функция как функция двух моментов времени определяет степень тесноты зависимости значений, принимаемых реализациями сигнала в одном сечении, от значений, принимаемых ими в другом сечении. Быстрое затухание корреляционной функции с ростом расстояния между сечениями говорит о быстром затухании этой зависимости, о быстрой изменчивости реализаций, о широком частотном спектре сигнала. Наоборот, медленное затухание корреляционной функции свидетельствует о плавности отдельных реализаций сигнала, о малой протяженности его частотного диапазона.