2.7 Быстрое преобразование Фурье

При вычислении спектральной функции в системах компьютерной математики возникают трудности, связанные с необходимостью проведения численного интегрирования в бесконечных пределах. Символьное интегрирование вообще невозможно, поскольку сигналы не задаются аналитически, а возникают в процессе измерения.

В большинстве случаев эти трудности можно преодолеть, поскольку, во-первых, сигнал существует всегда лишь на определенных интервалах времени, и, во-вторых, абсолютно интегрируемые сигналы имеют форму затухающих функций времени и, следовательно, всегда можно поставить предел времени их существования.

Поэтому будем считать, что сигнал задан на определенном промежутке времении равен нулю за его пределами. Тогда спектральную функцию можно вычислить как:

.

При проведении численных вычислений сигнал следует равномерно дискретизировать, то есть взять его отсчеты через равные промежутки времени (интервал дискретизации). Отсчеты значений сигнала обозначим как, причем,- число отсчетов сигнала, так что. При больших числах отсчетов единицу в этих выражениях можно убрать, и тогда получаем.

Теперь в формуле для вычисления спектральной функции можно перейти от интеграла к сумме. В результате получится некоторая оценка (приблизительное значение) спектральной функции:

.

Но значения спектральной функции можно вычислить тоже только для отдельных значений частоты. Наименьшее значение частоты определяется продолжительностью существования сигналаи составляет, а наибольшее значение частоты зависит от интервала дискретизации -. Вот тот диапазон частот, в котором могут быть определены значения оценок спектральной функции. Промежуточные значения (отсчеты) частоты следует определять как. Поэтому в результате дискретного преобразования Фурье получаются оценки значений спектральной функции:

.

Если число требуемых отсчетов значений спектральной функции тоже равно , то для их вычисления требуется произвестиопераций комплексного умножения и сложения. Это требует весьма значительных вычислительных ресурсов – возникает проблема «проклятия размерности».

Выход из такого положения был найден в 1965 году, когда Кули и Тьюки (J.W. Cooly, J.W. Tukey) опубликовали алгоритм быстрого преобразования Фурье. Последовательное проведение этого алгоритма требует всего лишь Nlog₂N операций комплексного умножения и сложения, то есть число необходимых операций уменьшается в раз. Так приэто отношение составляет 100.343.

При реализации алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ или FFT – Fast Fourier Transform) число отсчетов сигнала должно быть равным целой степени двойки. Если этого сделать не возможно, то остающемуся числу отсчетов следует просто приписать нулевые значения. В системах компьютерной математики (MahtCad, MathLab) имеются следующие встроенные функции для проведения прямого и обратного преобразования Фурье.

► -выполняет прямое БПФ последовательности дискретных отсчетов сигнала , образующих векторс числом составляющих, где- целое число. Функциявозвращает вектор коэффициентов

,

которые соответствуют частотам

.

Вектор найденных коэффициентов связан с вектором оценок спектральной функциипростым соотношением.

► - выполняет обратное БПФ вектора коэффициентов или, число компонентов которого должно составлять. В результате получается исходный векторотсчетов исходного сигнала:

.

► - функции, аналогичные двум предыдущим и отличающиеся от них только нормировкой. При их использовании отпадает необходимость вводить в формулы значения .

► - функции, аналогичные предыдущим, но используемые для БПФ исходного вектора с комплексными компонентами.

Пример.

На рис. 2.20 представлен листинг MathCad, иллюстрирующий процедуру построения сигнала . Сигнал существует на интервале времени, однако затухает практически до нуля уже при. Поэтому для вычисления спектральной функции (рис. 2.20) можно использовать конечные пределы интегрирования. Однако даже при таких пределах процесс интегрирования на компьютере длится несколько минут.

На рис. 2.21 представлен листингMathCad для процедуры дискретизации сигнала и тот же сигнал после его дискретизации на промежутке времени с числом отсчетов. Здесь же проводится дискретизация по частоте и выполняется прямое быстрое преобразование Фурье, в результате которого стоится дискретизированный амплитудный спектр сигнала как модуль спектральной функции.

Значения самой спектральной функции представлены вектором Х с числом комплексных компонентов, равным . Эти значения позволяют получить и фазовый спектр сигнала. Обратное БПФ дает возможность восстановить отсчеты исходного сигнала абсолютно точно.

На рис. 2.22 представлены изображения в MathCad векторов с полосами прокрутки для:

- дискретизированных значений времени (256 компонентов с номерами от 0 до 257),

- дискретизированных значений сигнала (256 компонентов с номерами от 0 до 257),

- дискретизированных значений частоты (129 компонентов с номерами от 0 до 128),

- дискретизированных комплексных значений спектральной функции (129 компонентов с номерами от 0 до 128).

Полосы прокрутки позволяют увидеть все компоненты векторов.

Практически спектры сигналов определяются с помощью специальных электроизмерительных приборов – анализаторов спектра.

40