2.6 Фурье – анализ неинтегрируемых сигналов.

При введении понятия преобразования Фурье были оговорены условия его применимости:

• выполняются условия Дирихле,

• абсолютная интегрируемость сигнала.

Но в некоторых случаях преобразование Фурье можно применить и к некоторым сигналам, не отвечающим этим условиям, но нашедшим широкое распространение в информационно – измерительной технике.

а) Дельта – импульс Дирака .

Спектральная функция дельта – импульса по определению составляет:

.

Спектр дельта – импульса является вещественным и постоянным в бесконечной полосе частот. Здесь четко проявляется известное соотношение между шириной импульса и шириной его спектра: чем короче импульс, тем шире занимаемая им полоса частот и, наоборот, чем шире импульс, тем уже занимаемая им полоса частот. В настоящем примере проявился экстремальный случай этого положения – бесконечно короткому импульсу соответствует бесконечно широкая полоса частот.

Обратное преобразование Фурье дает интересное интегральное выражение для дельта – импульса:

Этим выражением нам придется часто пользоваться в дальнейшем.

б) Постоянный сигнал .

Исходя из дуальности преобразования Фурье, можно сразу же сказать, что спектром постоянного сигнала будет дельта – импульс в частотной области. Действительно:

.

Здесь вновь проявилось известное правило: спектр бесконечно широкого сигнала получается бесконечно узким.

в) Функция включения .

Функция включения получается путем интегрирования дельта – функции. Поэтому в соответствии с правилами получения спектра сигнала после его интегрирования спектр функции включения должен составлять:

.

Следует запомнить общее правило: наличие постоянной составляющей в исходном сигнале всегда сопровождается появлением дельта – импульса на нулевой частоте в спектре сигнала.

г) Гармонический сигнал .

Найдем спектральную функцию гармонического сигнала:

Спектр гармонического колебания – это два дельта – импульса на частотах и. Множители перед дельта – импульсами содержат в себе сведения об амплитуде и фазе колебания, то есть об его комплексной амплитуде:

- спектр косинусоиды вещественный и состоит из двух положительных дельта – импульсов,

- спектр синусоиды мнимый и состоит из двух разнополярных дельта – импульсов.

Появление в спектре сигнала дельта – образного импульса на не нулевой частоте всегда свидетельствует о том, что сигнал содержит гармоническую составляющую на частоте этого импульса.

д) Комплексная экспонента .

Это – первый случай появления комплексного сигнала. Его спектр не должен обладать ни свойством четности, ни свойством нечетности. Его спектральная функция:

.

е) Периодический сигнал с периодом Т.

Такой сигнал может быть представлен рядом Фурье

.

Это – вещественный сигнал, хотя и представляет собой линейную комбинацию комплексных экспонент. Но в таком случае спектральная функция периодического сигнала должна представлять собой линейную комбинацию дельта – импульсов на частотах . Действительно

,

то есть спектральная функция периодического сигнала равна сумме дельта – импульсов на частотах, кратных основной частоте, взвешенных в соответствии со своими спектральными коэффициентами.