2.6 Свойства преобразования Фурье

Знание свойств, которыми обладает преобразование Фурье, позволяет более просто найти Фурье - образ сигнала по его оригиналу и найти оригинал по Фурье – образу, а иногда даже и на глазок оценить соотношение между сигналом и его спектром. Рассмотрим более внимательно наиболее значимые свойства преобразования.

а) Линейность.

Если сигнал можно представить в виде линейной комбинации нескольких других сигналов, например , где- постоянные коэффициенты, то спектральная функция будет такой же линейной комбинацией спектральных функций исходных сигналов.Но это свойство присуще только спектральной функции, и вовсе не относится к спектральной плотности амплитуд и к фазовому спектру сигнала. При сложении сигналов их амплитудный и фазовый спектры не складываются, но спектры суммы получаются более сложным образом.

б) Задержка сигнала во времени

Задержка сигнала во времени может носить естественный характер, связанный с особенностями канала передачи сигнала, либо привноситься искусственно, с помощью устройств, называемых линиями задержки.

Пусть сигнал x(t) со спектральной функцией X(ω) приходит с задержкой по времени, равной τ. Теперь сигнал имеет вид x(t-τ). Вычислим его спектральную функцию :

В результате задержки сигнала на время его спектральная функция умножается на комплексную экспоненту, модуль которой равен единице. Поэтому амплитудный спектр сигнала не изменяется, а фазовый спектр получает дополнительный сдвиг, пропорциональный частоте, величина которого зависит от временной задержки сигнала.

в) Изменение масштаба времени (сжатие или растяжение сигнала)

Сжатие или растяжение сигнала имеет место, например, при его запоминании (запись на каком – то носителе) с последующим проигрывании с большей или меньшей скоростью. При этом сигнал x(t) со спектральной функцией X(ω) превращается в сигнал x(at). Вычислим его спектральную функцию :

.

Таким образом, если сигнал сжимается (а>1), то его спектр растягивается в область высоких частот. При растяжении сигнала его спектр сужается.

г) Дифференцирование сигнала

Пусть сигнал x(t) имеет спектральную функцию X(ω). Для определения спектральной функции производной, то есть сигнала , воспользуемся определением производной функции:

Это означает, что спектральная функция производной получается умножением спектра исходного сигнала на произведение . В результате этого при дифференцировании сигнала

• низкие частоты подавляются,

• верхние частоты усиливаются,

• все гармонические составляющие сигнала получают дополнительный фазовый сдвиг на .

д) Интегрирование сигнала

Интегрирование сигнала – это операция, в некотором смысле обратная дифференцированию. Поэтому можно было бы ожидать, что при интегрировании спектральная функция сигнала получится делением спектральной функции исходного сигнала на . Так оно и есть, но только для центрированных сигналов, сигналов, не имеющих в своем составе постоянной составляющей, сигналов, для которых выполняется условие:

.

При наличии постоянной составляющей Фурье – образ сигналаопределится как

где - дельта – импульс на нулевой частоте ω=0.

Итак, при интегрировании сигнала

• высокие частоты ослабляются,

• низкие частоты усиливаются,

• все гармоники получают отрицательный дополнительный сдвиг по фазе на угол .

Два рассмотренных выше свойства говорят о том, что множитель можно называть оператором дифференцирования, а множитель- оператором интегрирования сигнала.

е) Свертка сигналов

Сверткой x(t) сигналов y(t) и z(t) называется сигнал, который получается в результате осуществления интегрирования произведения одного из этих сигналов и сдвинутой и отраженной копии второго сигнала:

,

где через обозначена операция свертки. Так выходной сигнал любой линейной динамической системы получается в результате свертки входного сигнала с импульсной переходной функцией этой системы.

В дальнейшем операция свертки сигналов будет встречаться очень часто, поэтому рассмотрим подробно механизм образования Фурье – образа результата свертки сигналов.

Пусть имеют место преобразования Фурье:

.

Тогда для Фурье – образа сигнала z(t) имеем:

.

Теперь изменим порядок интегрирования:

.

Внутренний интеграл представляет собой образ сигнала y(t), задержанного на время , поэтому он равен. Выносяза границы внешнего интеграла, получаем окончательно:

Следовательно, операция свертки сигналов во временной области эквивалентна операции умножения их образов в частотной области. Справедливо и обратное утверждение: свертка спектров сигналов эквивалентна перемножению самих сигналов, то есть спектральная функция результата перемножения сигналов равна свертке спектральных функций этих сигналов:

ж) Умножение сигнала на гармоническое колебание

Пусть опять сигнал x(t) имеет спектральную функцию X(ω). Образуем новый сигнал путем умножения данного сигнала на простое гармоническое колебание

и вычислим его спектральную функцию:

.

Заменим косинус по формулам Эйлера на половину суммы двух комплексных экспонент:

.

Вынося постоянные множители за знак интеграла, получим окончательно:

Спектр сигнала раздвоился, распался на две составляющие, сдвинутые на вправо и влево от начала координат. Каждое колебание получило множитель, учитывающий начальную фазу колебания.