2.5 Абсолютно интегрируемые сигналы. Преобразование Фурье.

К классу абсолютно интегрируемых сигналов относятся сигналы непрерывного времени, отвечающие условию

или хотя бы ,

то есть сигналы с конечной энергией. Если эти сигналы еще и отвечают условиям Дирихле, то к ним можно применить преобразование Фурье, являющееся расширением понятие ряда Фурье на случай непериодических сигналов. Соотношение между представлением периодического сигнала в форме ряда Фурье и представлением непрерывного сигнала в форме преобразования Фурье хорошо видно из следующей таблички:

Периодический сигнал		Непериодический сигнал с конечной энергией
Представление сигнала в форме ряда Фурье			Прямое преобразование Фурье
Комплексные амплитуды сигнала			Обратное преобразование Фурье

В качестве наглядного объяснения перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье обычно используют следующую, математически весьма вольную трактовку.

Спектральные линии комплексного спектра периодического сигнала с основным периодом T находятся на расстояниидруг от друга. Непериодический сигнал с конечной энергией можно представить себе как результат увеличения до бесконечности периода следования импульсов периодического сигнала. Тогда произведенияможно рассматривать в качестве непрерывно изменяющейся частоты, приращение частотызаменить дифференциалом частоты, а сумму в бесконечных пределах превратить в интеграл в тех же пределах. Комплексные амплитуды периодического сигнала по мере увеличения до бесконечности периодастремятся к нулю, поэтому приходится вводить в рассмотрение величины

,

которые, опять же при , стремятся к некоторым конечным значениям, зависящим от частоты ω.

Эти значения и образуют выражение для прямого преобразования Фурье, которое позволяет получить образ Фурье непериодического сигнала x(t) с конечной энергией, или спектральную функцию сигнала:

В выражении для самого ряда Фурье сумма естественным образом заменяется интегралом и перед ним появляется множитель:

.

Эта формула определяет обратное преобразование Фурье, которое восстанавливает сигнал (оригинал сигнала) по его образу.

Если перейти от угловой частоты ω, измеряемой в , к частоте, измеряемой в, то выражения для преобразования Фурье становятся совершенно симметричными:

Пара преобразований образует взаимно однозначное соответствие между сигналом, как функцией времени, и сигналом, как функцией частоты. Это два равноправных представления одного и того же сигнала. Временное представление кажется нам более привычным, но это не означает, что оно является единственно верным. Следует научиться тому, чтобы с одинаковым успехом пользоваться как временным, так и частотным представлением сигнала, как оригиналом сигнала, так и его образом.

Спектральная функция X(ω) сигнала x(t) является комплексной функцией частоты, то есть содержит в себе действительную и мнимую составляющие, каждая из которых представляет собой некоторую функцию частоты:

.

Модуль спектральной функции

образует амплитудный спектр, правильнее – спектральную плотность сигнала, а ее фазовая составляющая

называется фазовым спектром сигнала. Теперь спектральную функцию можно записать в виде:

.

Для действительных сигналов амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр – нечетной функцией частоты:

.

Если, кроме того, сигнал – четная функция времени, то его спектральная функция – действительная функция частоты, если же сигнал – нечетная функция времени, то его спектральная функция – чисто мнимая.

Теперь рассмотрим несколько примеров.

1. Исследуемый сигнал – это прямоугольный импульс, центрированный относительно нулевого момента времени. Построение импульса и спектральной плотности амплитуд импульса выполнено в MathCad и листинг представлен на рис 2.16. Импульс расположен симметрично относительно начала координат, поэтому спектральная функция является действительной функцией частоты (мнимая часть отсутствует).

Амплитудный спектр имеет тот же лепестковый характер, как и спектр последовательности прямоугольных импульсов. Спектр обращается в нуль на частотах, определяемых ширинойимпульса. Поэтому ширина первого лепестка составляет

. Начальное значение амплитудного спектра равно площади импульса. Поскольку импульс расположен симметрично относительно нулевого момента времени, спектральная функция не содержит мнимой части и поэтому фазовый спектр обращается в нуль.

Если импульс сдвинуть по оси времени на половину ширины импульса, то амплитудный спектр не изменится, поскольку он определяется только формой импульса. Однако фазовый спектр изменяется (рис. 2.17), получая сдвиг, пропорциональный частоте. На рисунке скачки фазы на 2π помещены только для того, чтобы не увеличивать масштаб рисунка. На самом деле фаза непрерывно изменяется от до.

Более наглядным является представление Фурье - образа на комплексной плоскости. Для каждого значения частоты определим действительную и мнимуючасти спектральной функции. По оси абсцисс на комплексной плоскости (рис. 2.18) отложим значение, а по оси ординат – значение. В результате образуется точка с координатами [;]. Соединив полученные точки плавной кривой, мы получим годограф вектора X(ω) на комплексной плоскости. Каждой точке годографа соответствует свое значение частоты. Длина вектора, проведенного в эту точку из начала координат, равна соответствующему значению спектральной плотности амплитуд, а угол между положительным направлением оси абсцисс и этим вектором равен соответствующему значению фазового спектра.

На рис. 2.18 нулевой частоте соответствует точка, расположенная на действительной оси с координатой 0.02. Движение вдоль нижней ветви кривой соответствует увеличению частоты от нуля до 750с шагом 15(отдельные точки на кривой). Верхняя ветвь отображает движение годографа при изменении частоты от 0 до –750.

Таким образом, картина на рис. 2.18 является Фурье – образом прямоугольного импульса протяженностью 0.01 с, возникающего в нулевой момент времени.

2. Сигнал имеет форму экспоненциального импульса, возникающего в нулевой момент времени:

, t > 0

где - начальная амплитуда импульса,

α – коэффициент затухания.

Вычислим спектральную функцию сигнала:

.

В соответствии с известными правилами работы с комплексными числами определим теперь амплитудный и фазовый спектры сигнала:

Амплитудный и фазовый спектр экспоненциального импульса представлен на рис. 2.19. Более круто изменяющиеся кривые относятся к случаю, когда коэффициент затухания сигнала , для случаякривые протекают более полого.