2.4 Периодические сигналы

Периодическими называются сигналы, бесконечно повторяющиеся по своей форме, то есть отвечающие условию:

,

где T – период повторения сигнала (основной период),

- любое целое число.

Уже из этого определения видно, что периодические сигналы весьма похожи на гармонические сигналы, хотя бы тем, что они бесконечно повторяются во времени. Поэтому при анализе периодических сигналов их удобно представлять в виде суммы чистых гармоник или комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию:

.

Такое представление периодических сигналов впервые предложил и обосновал французский математик Жан – Батист - Жозеф, барон де Фурье, между прочим, член Петербургской Академии наук. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье возможно при соблюдении ряда условий (условия Дирихле):

• число разрывов сигнала первого рода (скачков) должно быть конечным,

• не должно быть разрывов второго рода (уходящих в бесконечности ветвей),

• должно быть конечным число экстремумов сигнала (максимумов и минимумов).

Ряд Фурье можно использовать и для представления в виде суммы гармонических колебаний любого финитного сигнала, то есть сигнала конечной длительности Т. За пределами интервала времени [0; T] финитный сигнал равен нулю, хотя его представление в виде ряда Фурье означает его периодическое продолжение за границы этого интервала.

Так же как и простое гармоническое колебание, периодический сигнал, отвечающий условиям Дирихле, может быть представлен в одной из трех форм.

а). Синусно-косинусное представление периодического сигнала x(t) с периодом и основной частотойимеет вид:

.

Колебания с кратными частотами называются высшими гармониками. Колебание с частотойявляетсяk-ой гармоникой. Коэффициенты ряда определяются по формулам:

,

которые позволяют вычислить амплитуды квадратурных составляющих каждой гармоники.

Константа рассчитывается по обычной для коэффициентаформуле, которая приk=0 значительно упрощается:

.

Таким образом, член ряда - это просто среднее значение сигнала за период.

Если x(t) – четная функция, то все коэффициенты обращаются в нуль и в выражении для ряда Фурье присутствуют только косинусные слагаемые. Если жеx(t) – нечетная функция, то все коэффициенты , в том числе и, равны нулю и ряд Фурье содержит только синусные слагаемые.

Пример.

Последовательность прямоугольных импульсов (видеоимпульсов)x(t), изображенная на рис. 2.9, является четной последовательностью и поэтому ряд Фурье для неё содержит только косинусные члены:

Вполученном выражении

- амплитуда импульсов,

- период их следования,

- основная частота (соответствует амплитуде первой гармоники),

τ – длительность импульсов.

Здесь нам впервые встречается интересная функция .

График этой функции изображен на рис. 2.10. В дальнейшем нам придется очень часто использовать эту функцию, которая представляет собой затухающую синусоиду, амплитуда которой уменьшается во времени по гиперболическому закону. В нуле эта функция обращается в единицу, поскольку:

.

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов приобретает теперь следующий вид:

.

Отношение периода следования импульсов к их длительности называется скважностью импульсов . С учетом скважности выражение для ряда Фурье последовательности прямоугольных импульсов приобретает законченный вид:

.

При q=2 последовательность прямоугольных импульсов превращается в меандр. При этом ширина импульсов равна половине периода их следования.

На рис. 2.11 построены графики, иллюстрирующие представление исходной последовательности прямоугольных импульсов при Т = 0,01 с, τ = 0,008 с и= 1В в виде ряда Фурье при использовании К = 1, 3, 5, 7, 9 и 15 гармоник. На приведенных рисунках хорошо видно, как с ростом числа членов разложения последовательности в ряд Фурье получаемая конечная сумма всё более приближается к исходной последовательности.

б) Вещественное представление ряда Фурье получается путем записи отдельных гармоник в вещественной форме:

,

где - амплитудаk-той гармоники,

- фаза k-той гармоники.

Такая форма записи предпочтительнее предыдущей, поскольку под знаком суммирования остается только один член разложения.

Совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического сигнала образует егоамплитудный спектр, а совокупность фаз –фазовый спектр сигнала.

В рассмотренном ранее примере последовательность прямоугольных импульсов содержала только косинусные члены, поэтому ее представление в виде

является, по сути, вещественным представлением. Амплитудный и фазовый спектры этой последовательности (рис. 2.9) определяются совокупностью амплитуд и фаз отдельных гармонических составляющих:

- амплитудный спектр

,

- фазовый спектр

.

Спектры сигнала в виде последовательности видеоимпульсовc параметрами представлены на рис. 2.12, причем ось абсцисс проградуирована в номерах гармоник. Гармоники с номерами, кратными скважности импульсовq (если q – целое), имеют нулевую амплитуду, амплитудный спектр обращается в нуль.

Амплитудный спектр имеет ярко выраженный лепестковый характер. Для таких спектров в качестве ширины спектра (эффективная ширина спектра) принимают обычно ширину первого лепестка, равную скважности импульсов. На рис. 2.12 эффективная ширина спектра равна 11 гармоникам.

Поскольку расстояние между линиями спектра в единицах частоты равно Гц, то эффективная ширина спектра последовательности прямоугольных импульсов с такой частотой составляет 1100 Гц =1.1 кГц. Отсюда вытекает одна общая закономерность, справедливая для последовательности импульсов любой формы:чем короче импульсы по сравнению с шириной их следования, тем протяженнее амплитудный спектр этой последовательности.

в) Комплексное представление ряда Фурье имеет наибольшее распространение в теории и практике преобразования сигналов. Оно получается из вещественного представления заменой косинуса через комплексные экспоненты в соответствии с формулами Эйлера:

Будем рассматривать экспоненты со знаком минус в показателе в качестве членов ряда с отрицательными номерами k. Свободный член ряда – это член с номером k=0. Теперь ряд Фурье можно записать в более компактной форме – комплексной форме представления:

.

Коэффициенты этого ряда являются комплексными величинами. Они связаны с амплитудамии фазамиотдельных гармоник, фигурирующих в вещественном представлении ряда Фурье, следующими соотношениями:

.

Не более сложно найти и соотношения с коэффициентами синусно-косинусного представления ряда Фурье:

.

Совокупность комплексных амплитуд образуеткомплексный спектр периодического сигнала x(t), который содержит в себе и амплитудный, и фазовый спектры. Взаимно однозначное соответствие между периодическим сигналом x(t) и его комплексным спектром выражается формулами соответствия:

Если функция x(t) является четной, то амплитуды будут чисто вещественными, в случае нечетностиx(t) они будут чисто мнимыми. Если сигнал x(t) вещественный, то амплитудный, фазовый и комплексный спектры обладают следующими свойствами симметрии:

,

то есть спектральные амплитуды иявляются комплексно сопряженными выражениями. Поэтомуи, следовательно

.

При работе в среде Mat Cad для представления периодического сигнала в виде конечного ряда Фурье лучше пользоваться развернутым выражением:

.

Пример.

Врезультате однополупериодного выпрямления синусоидально изменяющегося напряжения частотой 50 Гц получается периодический сигнал с периодом следования импульсовT=0.02 с, построение которого представлено на рис. 2-13.

Комплексный спектр сигнала разбивается на два спектра: - амплитудный спектри фазовый спектр. Оба эти спектра изображены на рис. 2.13 и 2.14 в функции номеров гармоник. Фазовый спектр в этом примере представлен в радианах.

Амплитудный спектр ясно показывает, что наибольшую роль в формировании исходного сигнала играют только первые две гармоники, так что сигнал состоит практически из двух синусоидальных колебаний с частотами 100 Гц и 200 Гц и постоянной составляющей, равной среднему значению сигнала. Более высокие гармоники имеют лишь незначительные амплитуды и могут только в малом изменить форму сигнала.

Действительно, как видно по рис. 2.15, где представлена сумма, с учетом фазовых соотношений, только среднего значения сигнала (нулевая гармоника), первой и второй гармоник, полученный в таком виде сигнал мало отличается от исходного сигнала, представленного на рис. 2.13.

Поскольку периодический сигнал представляется рядом Фурье в виде суммы гармонических колебаний, то и его мощность должна равняться сумме мощностей гармоник, равных половинам квадратов соответствующих амплитуд. Это соотношение известно как теорема де Парсеваля для периодических сигналов:

.

Данное равенство означает, что мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей комплексных амплитуд его разложения в ряд Фурье.

Если в выражении для ряда Фурье мы ограничиваемся суммой конечного числа K членов разложения, то мы получаем сигнал , несколько отличный от исходного сигналаx(t). Меру приближения исходного сигнала x(t) конечной суммой можно характеризовать средней квадратической погрешностью, равной корню квадратному из дисперсии, то есть мощности неучтенных гармоник:

.

Интересно то, что с ростом числа K членов разложения средняя квадратическая погрешность воспроизведения исходного сигнала конечным рядом Фурье всегда только уменьшается.

Нотная запись музыкальных произведений – это запись мгновенных амплитудных спектров звуковых колебаний, разделенных паузами между нотами. Соотношение между нотами и соответствующими им частотами чистых гармоник имеет следующий вид

Однако каждая нота, взятая на соответствующем музыкальном инструменте, создает звук, амплитудный спектр которого, кроме основной частоты (смотри рисунок), содержит и ряд других частот. Совокупность этих дополнительных частот (спектр) характеризуется тембром данного музыкального инструмента, отличным от любого другого инструмента. Взятие аккорда приводит к еще большему усложнению спектра, соответствующему содержанию аккорда. При игре оркестра амплитудные спектры различных музыкальных инструментов накладываются друг на друга, образуя то, что мы называем исполнением музыкального произведения.

Картину постоянной смены спектра прослушиваемого музыкального фрагмента можно наблюдать и на экране проигрывателя Windows Media при выборе частотной диаграммы. Каждая, вновь взятая комбинация нот приводит к изменению структуры спектра и мощности звучания, что наглядно отображается частотной диаграммой.