2.2 Энергетические характеристики сигналов

Если произвольный сигнал рассматривать как электрический ток, протекающий через резистор с сопротивлением в 1 Ом, или как падение напряжения на сопротивлении в 1 Ом, то квадрат сигнала можно считать его мгновенной мощностью:

.

Чтобы вычислить энергию, выделяемую сигналом на сопротивлении в 1 Ом за время , следует проинтегрировать мгновенную мощность по времени за этот промежуток времени:

.

Далее можно ввести также понятие средней мощности сигнала:

.

Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Периодический сигнал обладает бесконечной энергией. Напротив, сигнал конечной длительности всегда имеет конечную энергию. Если энергия сигнала бесконечна, всегда можно попробовать определить его среднюю мощность путём предельного перехода:

.

Если рассматривать значения сигнала в разные моменты времени как значения некоторой случайной величины X, то окажется, что среднюю мощность сигнала можно рассматривать как дисперсию этой случайной величины, если только среднее значение сигнала равно нулю. В этом случае корень квадратный из средней мощности дает среднее квадратическое (или действующее) значение сигнала, которое называется также и стандартным отклонением сигнала:

.

Для периодических сигналов усреднение производится делением энергии сигнала на протяженность его периода.

Пример.

Вычислить среднюю мощность и действующее значение синусоидального колебания .

Средняя мощность сигнала

Таким образом, мощность или дисперсия синусоидального колебания равна половине квадрата амплитуды. Стандартное отклонение сигнала или его действующее значение равно корню квадратному из дисперсии, то есть 0.707e.

2.3 Элементарные сигналы

К этой категории будем относить сигналы, отличающиеся наибольшей простотой описания и генерирования техническими средствами. В тоже время эти сигналы являются основой для получения более сложных сигналов.

1. Функция единичного скачка, функция включения или функция Хэвисайда, введенная английским физиком Оливером Хэвисайдом, равна нулю при отрицательных значениях аргумента, единице при положительных значениях аргумента и ½ при нулевом значении аргумента:

Функция скачка наиболее просто реализуется с помощью технических средств, она просто-напросто описывает факт быстрого включения устройства без учета его динамических свойств. Придание ей значения ½ в момент времени необходимо для того, чтобы ее можно было получить предельным переходом из некоторых простых дифференцируемых функций, например как:

.

Графически функция включенияприи ее эволюция из функциипри уменьшении параметраw от 0.01 до 0.001 представлена на рис. 2.3.

При умножении функции единичного скачка на любой другой сигнал получается функция включения этого сигнала в момент времени (рис.2.4).

Функцию включения удобно использовать для формирования последовательностей прямоугольных импульсов различной амплитуды и длительности. Так на рис. 2.5 показана процедура формирования двух импульсов протяженностью в 2 с и 1 с, имеющих амплитуды 1 В и 1.4 В соответственно.

2. Дельта-импульс Дирака (функция Дирака) определяется как бесконечно узкий и бесконечно высокий импульс, появляющийся в момент равенства нулю своего аргумента, причем площадь под этим импульсом равна единице (рис.2.6):

Бесконечные пределы интегрирования можно заменить конечными пределами, между которыми находится момент времени :

Одно из основных свойств дельта - импульса Дирака описывается соотношением

,

которое характеризует выборочное, фильтрующее или стробирующее свойство дельта - функции, которое очень точно охарактеризовал О. Хэвисайд: «Функция δ(t) определяет отдельное значение произвольной функции в силу своей импульсивности».

Из того факта, что площадь под графиком дельта - функции равна единице, следует, что размерность дельта - функции является обратной по отношению к размерности аргумента. Поэтому дельта-функция времени имеет размерность , то есть размерность частоты. В дальнейшем нам будут встречаться и дельта – функции частоты, которые имеют размерность, обратную размерности частоты, то есть размерность времени.

Дельта-функция не может быть реализована точно техническими средствами уже хотя бы потому, что для этого требуется бесконечно большая мощность

для любого T, охватывающего точку . Следовательно, и дисперсия дельта - функции бесконечно велика.

Формально дельта - функцию можно определить как производную от функции включения Хэвисайда:

,

но только нужно помнить, что обе эти функции не являются классическими функциями математического анализа. Это так называемые обобщенные функции, которые рассматриваются в специальных разделах математики.

3. Гармоническое колебание. Это – наиболее распространенная форма сигнала в информационно-измерительной технике. Гармоническое колебание является единственной непрерывной функцией, бесконечно повторяющейся в процессе своего развития во времени.

Гармоническое колебание записывается в одной из трех форм: синусно-косинусной, вещественной и комплексной.

а) Синусно-косинусная форма представления – это представление гармонического колебания y(t) в виде суммы двух квадратурных составляющих с различными амплитудами, но одинаковыми частотами ω, одна из которых записывается в виде косинусоиды, а другая – в виде синусоиды (рис. 2.7).

Результатом такого сложения является гармоническое колебание (чистая гармоника) с начальной фазой, зависящей от соотношения амплитуд квадратурных составляющих.

б) В вещественной форме гармоническое колебание записывается в виде:

,

где - амплитуда колебания,

ω – круговая частота [рад∙с^-1],

f – линейная частота[Гц, с^-1],

– начальная фаза колебаний.

в) Наиболее распространенной в теории преобразований измерительных сигналов является экспоненциальная форма представления гармонического колебания, которая вытекает из известных формул Леонарда Эйлера:

где - мнимая единица.

С помощью формул Эйлера выражение для гармонического колебания в вещественной форме приводится к следующему виду:

.

На рис. 2.8 в комплексной плоскости, образованной осью действительных чиселRe и осью мнимых чисел Im, изображены два вектора

и

,

которые в нулевой момент времени t=0 занимают положения

и

соответственно, и вращаются с угловой скоростью ω в противоположных направлениях, первый вектор против часовой стрелки, а второй – по часовой стрелке. В каждый момент времени половина суммы этих двух векторов оказывается чисто действительной, то есть располагается вдоль действительной оси Re, и равной , что и иллюстрирует выше приведенное равенство.

Таким образом, гармоническому колебанию с угловой частотой ω и начальной фазой φ соответствуют две комплексные экспоненты с начальными фазами φ и –φ, которые вращаются вокруг нулевой точки комплексной плоскости с угловыми скоростями ω и –ω. Так вводится понятие отрицательной частоты.