9.8 Цифровые фильтры

Под цифровым (или дискретным) фильтром понимается система преобразования дискретных сигналов, отвечающая требованиям линейности и стационарности. Линейность означает, что реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, подаваемые на вход системы по отдельности. Свойство стационарности системы требует того, чтобы задержка входного сигнала на произвольное число тактов (интервалов дискретизации сигнала) приводила бы только к такой же задержке выходного сигнала, никак не изменяя его форму.

Существуют, правда, и нелинейные фильтры и фильтры с переменными параметрами, например, адаптивные фильтры, характеристики которых изменяются при изменении статистических свойств входных сигналов. Но в дальнейшем анализе мы ограничимся классом только линейных стационарных фильтров.

Понятие «фильтр» необходимо ассоциируется в нашем сознании с устройствами для подавления гармоник с частотами, лежащими в одних диапазонах, и пропускания гармоник с другими частотами. Цифровые фильтры также обладают частотно – зависимыми свойствами, однако область применения цифровых фильтров гораздо шире и охватывает вообще все виды дискретных преобразований.

Наиболее полной характеристикой фильтра является его разностное уравнение. Разностное уравнение цифрового фильтра устанавливает зависимость выходного дискретного сигнала фильтра в текущий момент времени

• от значения входного сигнала в тот же момент времени,

• от предыдущих значений входного сигнала,

• от предыдущих значений выходного сигнала.

При соблюдении требований линейности выходной сигнал фильтра должен быть линейной комбинацией предыдущих значений входного и выходного сигналов:

Здесь - коэффициенты разностного уравнения фильтра, которые полностью описывают его свойства, то есть реализуемый фильтром алгоритм преобразования входного сигнала.

Разностное уравнение фильтра можно записать в форме, очень похожей на запись линейного дифференциального уравнения стационарной аналоговой системы:

Отличие заключается лишь в том, что на месте производных входного или выходного сигналов соответствующих порядков здесь стоят сигналы, задержанные по времени на такие же числа шагов дискретизации.

Теперь подвергнем разностное уравнение фильтра Z – преобразованию:

Вынося за скобки в результаты Z – преобразования выходного и входного сигналов в обеих частях разностного уравнения, можно получить выражение для их отношения:

.

Полученное выражение носит название системной функции или функции передачи цифрового фильтра и является аналогом передаточной функции аналоговой динамической системы. Функция передачи физически реализуемой дискретной системы выражается отношением полиномов по отрицательным степеням переменной z. Функция передачи позволяет сразу же получить выражение для выходного сигнала фильтра через входной сигнал .

Для полного описания аналоговых линейных динамических систем Вы пользовались также импульсной функцией, которая представляет собой реакцию системы на входное воздействие в виде δ – импульса Дирака. Для цифровых фильтров ту же роль играет импульсная характеристика – реакция фильтра на единичный импульс. Функция передачи цифрового фильтра является результатомZ – преобразования его импульсной характеристики .

Подстановкой функция передачи цифрового фильтра превращается в его комплексный коэффициент передачи, то есть в амплитудно-фазовую частотную характеристику. Модуль комплексного коэффициента передачи образует амплитудно-частотную характеристику фильтра, а его аргумент – фазовую частотную характеристику:

Пример

Цифровой фильтр определяет среднее арифметическое из текущего и двух предыдущих значений входного сигнала. Разностное уравнение такого фильтра:

Функция передачи фильтра получается после Z – преобразования правой и левой частей этого уравнения:

и составляет:

.

Вычислим путем непосредственного подсчета импульсную функцию фильтра:

Импульсная функция равна 1/3 и остается постоянной в течении трех тактов отчета. После этого она становится равной нулю. Это означает, что импульсная функция фильтра является конечной.

Такого рода фильтры носят название КИХ-фильтры в противоположность БИХ–фильтрам, фильтрам с бесконечно – протяженной импульсной функцией.

Комплексный коэффициент передачи получается из функции передачи фильтра подстановкой и составляет:

После проведения ряда тригонометрических преобразований это выражение приводится к виду:

Теперь просто определить АЧХ и ФЧХ фильтра:

Графики АЧХ и ФЧХ фильтра, вычисляющего значение каждого отчета как среднее арифметическое из трех предыдущих значений входного дискретного сигнала, представлены на рис.9.18. Частота дискретизации была при этом принята равной, так что интервал дискретизации равнялся 0,0157 с.

Из построенных графиков можно сделать следующие выводы относительно формы частотных характеристик цифровых фильтров:

1. Амплитудно – частотная характеристика цифрового фильтра является периодической функцией частоты, период повторения АЧХ равен частоте дискретизации.

2. Форма АЧХ цифрового фильтра определяется только выражением для функции передачи фильтра, но конкретный график АЧХ фильтра зависит от частоты дискретизации входного сигнала. Получается парадоксальный результат: свойства фильтра зависят от свойств входного сигнала. Во избежание этого парадокса частотные характеристики цифровых фильтров приходится рассматривать в функции безразмерной частоты . Именно в такой комбинации частота входит в выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра.

3. график ФЧХ строится в виде, изображенном на графике рис. 9.18 только для того, чтобы уместить его в ограниченном пространстве рисунка. На самом деле скачков фазы на угол , конечно, нет. Запаздывание по фазе выходного сигнала относительно входного непрерывно растет линейно с ростом частоты.

4. Форма первого лепестка АЧХ полностью определяется видом функции передачи фильтра или его разностного уравнения. Подбирая соответствующим образом коэффициенты разностного уравнения фильтра можно построить фильтры нижних частот, фильтры высоких частот, полосовые и режекторные фильтры с заданными полосами прозрачности и непрозрачности.

145