9.7.2 Теорема Котельникова

Возможность восстановления аналогового сигнала из последовательности его отчетов при достаточно высокой частоте дискретизации с помощью идеального фильтра нижних частот, которая была подробно рассмотрена в предыдущем разделе, формализуется теоремой Котельникова (в англоязычной литературе – теоремой Найквиста).

Теорема Котельникова звучит следующим образом. Можно со сколь угодно высокой точностью восстановить случайный аналоговый сигнал по его равномерным дискретным отчетам при соблюдении следующих условий:

• сигнал имеет ограниченный по протяженности (финитный) спектр, например от 0 до ;

• реализация сигнала наблюдается бесконечно долго как в прошлом, так и в будущем;

• дискретный сигнал формируется в виде последовательности отчетов аналогового сигнала с частотой дискретизации ;

• восстановление сигнала осуществляется по его точным (не зашумленным) отчетам с помощью обобщенного ряда Фурье по функциям отчета (функциям Котельникова):

.

Функции отчета замечательны тем, что каждаяk – тая из них принимает значение, равное единице, в момент взятия k – того отчета, и значение, равное нулю, в моменты любого другого отчета. Поэтому в моменты взятия отчетов восстановленный из дискретного сигнала аналоговый сигнал всегда совпадает с исходным аналоговым сигналом.

В качестве примера на рис. 9.11 представлена реализация некоторого аналогового сигнала x(t), а на рис. 9.12 – спектральная плотность амплитуд этой реализации. Граничная частота спектра сигнала имеет порядок 300 рад / с, поэтому частоту дискретизации сигнала можно принять равной 600 рад / с. Для простоты расчетов примем ее равной 628 рад/ с, тогда шаг дискретизации будет составлять 2π / 628=0,01 с.

На рис. 9.13 изображен небольшой фрагмент аналогового сигналаx(t) на интервале времени от 0,075 с до 0,15 с. Здесь же вертикальными отрезками представлены отчеты сигнала в моменты времени, разделенные шагами дискретизации

Ряд Котельникова представлен тремя функциями отчета (тонкие линии на рис. 9.13), умноженными на значения отчетов, в моменты времени . Их сумма на этом интервале (0,10 – 0,12 с) уже очень близка к исходному сигналу. Степень близости восстановленного сигнала к исходному сигналу будет безгранично возрастать по мере учета все большего числа членов ряда Котельникова, если только выполняются условия ее справедливости.

Следует всегда помнить, что теорема Котельникова дает лишь предельные, потенциально возможные соотношения для определения частоты дискретизации в идеализированных условиях, основными из которых является ограниченность спектра сигнала и бесконечная протяженность времени наблюдения сигнала. Однако эти соотношения практически никогда не выполняются.

Восстановление реальных аналоговых сигналов с неограниченным спектром по его отчетам, взятым за ограниченное время наблюдения, всегда связано с определенной погрешностью дискретизации, как и в случае дискретизации по полиномам Лежандра. Поэтому частоту дискретизации всегда следует выбирать гораздо большей, чем . Погрешность дискретизации всегда имеет место, независимо от того, используются ли для восстановления сигнала функции Котельникова, или другие, более простые интерполяционные формулы.