9.7 Описание сигналов, представленных выборками

9.7.1 Спектр дискретного сигнала

При шаге дискретизации и круговой частоте дискретизации, соответствующей линейной частоте, дискретный сигнал, полученный после дискретизации выборками из аналогового сигнала, определяется как, где- моменты взятия отчетов аналогового сигнала,- последовательные номера отчетов сигнала.

В результате дискретизации аналоговый сигнал преобразуется в дискретный сигнал (решетчатую функцию), который мы будем часто обозначать просто, как. Аналогом преобразования Фурье для непрерывных сигналов является дискретное преобразование Фурье, которое определяется не как интеграл, а как сумма

Полученное выражение является комплексным, его модуль определяет спектральную плотность амплитуд или амплитудный спектр дискретного сигнала, а его аргумент – фазовый спектр сигнала.

Пример.

Задан аналоговый сигнал, представленный на рис. 9.6:

.

Сигнал является суммой экспоненциального всплеска, гармоники с амплитудой 2мВ на частоте 20 рад/с и гармоники с амплитудой 0.5мВ на частоте 150 рад/ с, которую можно рассматривать как шумовую составляющую.

Амплитудный спектр такого сигнала должен содержать:

• низкочастотную область, соответствующую экспоненциальному всплеску,

• δ– образным импульсам на частотах двух гармонических составляющих сигнала: высокий импульс на частоте 20 рад / с и более низкий импульс на частоте 150 рад / с.

Амплитудный спектр сигнала, вычисленный как модуль спектральной функции

изображен на рис. 9.7.

Характер амплитудного спектра полностью соответствует сделанным ранее предположениям. Он действительно включает в себя низкочастотную часть протяженностью от 0 до ~70 рад/ с. Кроме того, спектр содержит два δ – подобных всплеска на частотах 20 и 150 рад / с, причем последний всплеск лежит за границами низкочастотной части спектра.

Проведем дискретизацию сигнала на частоте . Период дискретизации составит при этомДискретизированный сигнал принимает вид:

.

Дискретный сигнал в виде последовательности отчетов в моменты времени изображен на рис. 9.8. Огибающая этого сигнала в некотором приближении повторяет исходный аналоговый сигнал (рис. 9.6), хотя некоторые его подробности могут быть и потеряны.

Дискретный сигнал должен иметь, конечно, гораздо более широкий спектр, который вычисляется по вышеприведенной формуле:

.

Спектр сигнала, вычисленный таким образом, представлен на рис. 9.9.

На рисунке четко прослеживаются основные особенности спектра дискретного сигнала и его взаимосвязь со спектром исходного аналогового сигнала. Эти особенности не связаны с конкретной формой сигнала и имеют общее значение, выходящее за рамки рассматриваемого примера.

1. Спектр дискретного сигнала периодический с периодом, равным частоте дискретизации (в нашем случае 400 рад/с).

2. В пределах половины частоты дискретизации спектр дискретного сигнала повторяет спектр исходного аналогового сигнала. Поэтому, если спектр аналогового сигнала укладывается в полосе частот, равной половине частоты дискретизации, то он без искажений повторяется с периодом, равным частоте дискретизации.

3. В этих условиях аналоговый сигнал может быть восстановлен без искажений с помощью идеального фильтра низких частот, полоса пропускания которого равна половине частоты дискретизации.

4. Если ширина спектра аналогового сигнала больше половины частоты дискретизации, то сдвинутые на период копии спектра исходного сигнала перекрывают друг друга и поэтому даже идеальный фильтр нижних частот не поможет восстановить исходный сигнал из дискретного сигнала.

На рис 9.10 представлен спектр дискретного сигнала, полученного после дискретизации того же аналогового сигнала, но при частоте дискретизации 200 рад/с, то есть вдвое меньшей, чем на рис. 9.9. Здесь пары δ – всплесков, соответствующие более высокой гармоники аналогового сигнала и находящиеся на рис. 9.9 на частотах 150 рад/с и 400 – 150=250 рад/с, поменялись местами и располагаются теперь на частотах 150 рад/с и 200 – 150=50 рад/с.

Восстановление аналогового сигнала с помощью идеального фильтра нижних частот с частотой среза 100 рад/с, равной половине частоты дискретизации, приведет к существенному искажению сигнала.