9.6 Обобщенная дискретизация по полиномам Лежандра

Для дифференцируемых случайных сигналов координатными функциями, близкими к оптимальным, являются полиномы Лежандра. Полиномы Лежандра, ортогональные на интервале (-1, +1), имеют вид:

Полиномы Лежандра, ортогональные на интервале , где– шаг дискретизации, получаются заменой переменных. Тогда получим координатные функции:

Мощность этих полиномов равна . Поэтому ортонормированные полиномы имеют вид. Такими же должны быть и весовые функции.

Расчёты погрешности дискретизации по формулам, приведенным в предыдущем параграфе, существенно упрощаются, если предположить, что шаг дискретизации значительно меньше интервала корреляции исходного сигнала. В этом случае корреляционную функциюможно представить рядом Тейлора по степенямвблизи нуля и при интегрировании ограничиться несколькими первыми членами разложения.

Пример

Дискретизации подвергается случайный сигнал, имеющий спектральную плотность квазибелого шума с граничной частотой. Корреляционная функция такого сигнала имеет вид:

Представим её в виде степенного ряда:

Предположим, что все координат сигнала передаются одновременно как одна обобщенная координата с частотойили, где- шаг дискретизации.

Рассмотрим случаи использования различного числа координат сигнала.

I. используется только одна координата

На каждом шаге дискретизацииопределяется среднее значение сигнала, которое и используется в качестве координаты сигнала и применяется затем для его восстановления:

После восстановления сигнал представляется ступенчатой линией (рис.9.4), причём высота ступеней на каждом шаге дискретизации равна среднему значению сигнала в пределах этого шага. Вертикальными линиями отмечены границы интервалов дискретизации. Погрешность дискретизации характеризуется дисперсией

причём

Подставляя сюда корреляционную функцию в виде ряда по степеням и учитывая, чтои, получим:

Погрешность дискретизации

Если задана допустимая погрешность дискретизации в долях стандартного отклонения измерительного сигнала, то, пользуясь этим выражением, можно найти допустимое значение шага дискретизации

Так если ширина спектра

то

II N+1=2, используются две координаты сигнала:

- первая координата

- вторая координата

На каждом шаге дискретизации определяются теперь эти две координаты, последовательности которых и используются затем для восстановления сигнала:

Восстановленный сигнал (рис. 9.5, сравни с рис. 9.4) на каждом шаге дискретизации представляет собой отрезок прямой линии, наиболее близкий к исходной кривой. Такая аппроксимация называется кусочно-линейной.

Погрешность дискретизации составляет теперь

где дисперсия уже определена, авычисляется как

Учитывая, что

,

получим следующее выражение для дисперсии второй координаты:

Теперь вычислим погрешность дискретизации и восстановления

При известной дисперсии собственной погрешности дискретизации шаг дискретизации теперь должен определяться как

При тех же условиях, что и в первом примере, шаг дискретизации должен теперь составлять

В условиях предыдущего примера то есть той же погрешности восстановления сигнала можно добиться при шаге дискретизации, в шесть раз большем, чем при ступенчатой аппроксимации.

III N+1=3, используя три координаты сигнала, две из которых иуже были определены. Третья координата находится как

С помощью этих трех координат сигнал на каждом шаге интегрирования приближается параболами второй степени:

Погрешность дискретизации после аналогичных вычислений принимает вид

Отсюда можно вновь найти шаг дискретизации при прочих равных условиях:

Шаг дискретизации увеличился еще почти в два раза.

Этот пример демонстрирует общее положение - увеличение числа координат приводит к увеличению допустимого шага дискретизации, но по мере роста числа координат - всё в меньшей и меньшей степени. Поэтому на практике число координат выбирают равным одному или двум и крайне редко N+1 принимается равным трем.

Дискретизация и восстановление сигнала с помощью полиномов Лежандра в большинстве случаев близка к оптимальной дискретизации, однако требует довольно сложных технических средств для своей реализации. Большее распространение в измерительных информационных системах получила дискретизация выборками, то есть представление сигнала в виде последовательности отчетов, которые берутся через определенный промежуток времени Т.

Этот интервал времени называется шагом дискретизации, а соответствующая ему частота

- круговой или, соответственно, линейной частотой дискретизации. Если частота дискретизации равна 1 кГц, то это означает, что в единицу времени, то есть в секунду, берется тысяча отчетов.

В дальнейшем мы будем более подробно заниматься именно сигналами, представленными последовательностями отчетов.