9.4 Оценка погрешности дискретизации

Погрешность дискретизации будем характеризовать дисперсией, усредненной по интервалу дискретизации :

где - значения координат сигнала с учетом воздействия шума, вызванного, например, квантованием по уровню или другими внешними и внутренними воздействиями в устройствах преобразования и передачи сигналов. Шум подвергается дискретизации вместе с полезным сигналом, поэтомуможно считать импульсным шумом.

После возведения в квадрат в результате интегрирования получаем:

Подставим сюда . Если сигнали шумне коррелированны, то погрешность дискретизации можно представить в виде суммы двух составляющих.

Одна из этих составляющих - собственная погрешность дискретизации по не зашумленным координатам:

Вторая составляющая вызывается действием шума и ее дисперсия составляет:

,

или, после некоторых преобразований,

Если - реализация случайного стационарного сигнала с нулевым математическим ожиданием, то первое слагаемое собственной погрешности дискретизации равно его дисперсии

а входящее в третье слагаемое математическое ожидание произведения координат иможно выразить через корреляционную функцию сигнала. Для этого преобразуем вначале математическое ожидание произведения координат к виду:

.

Но произведение двух интегралов можно представить в форме двойного интеграла. Поэтому

.

Операция взятия математического ожидания линейна. Поэтому знаки интегрирования и взятия математического ожидания можно поменять местами. В результате получаем:

.

Математическое ожидание, входящее во второе слагаемое собственной погрешности дискретизации, можно преобразовать аналогичным образом:

Теперь, с учётом стационарности измерительного сигнала , собственная погрешность дискретизации может быть представлена в виде:

Выражение для шумовой погрешности дискретизации значительно упрощается, если предположить, что шум является белым шумом с нулевым математическим ожиданием. Тогда, по аналогии с выражением для, имеем:

Поэтому окончательно имеем

.

Входящая в последнее выражение величинаназывается коэффициентом фильтрующей способности выбранной системы базисных функций по отношению к внешним помехам типа белого шума.

9.5 Оптимальная дискретизация.

Задача оптимальной дискретизации состоит в отыскивании такой системы весовых и базисныхфункций, которая обеспечивала бы получение минимальной собственной погрешности дискретизациипри заданном числеN+1 координат сигнала, или получение минимального числа N+1 координат при заданной собственной погрешности дискретизации.

Карунен и Лоэв показали, что если - это реализация случайного стационарного сигнала с корреляционной функцией, то число координатN+1 будет минимальным, если в качестве координат используются коэффициенты обобщенного ряда Фурье (все - ортогональны и нормированы) и функцииудовлетворяют интегральному уравнению Фредгольма второго рода

где

являются дисперсиями i- тых координат сигнала.

Уравнение в общем случае решить невозможно, однако оно позволяет выявить близость к оптимальной различных систем координатных функций.

Если выбранная система координатных функций удовлетворяет вышеприведенному уравнению Фредгольма, то погрешность дискретизации может быть вычислена по формуле

где - дисперсия дискретизируемого сигнала. Поскольку всезависят от времени дискретизации, то, используя полученное соотношение, можно по заданной допустимой погрешности дискретизации определить конкретное значение шага дискретизации.

Реализация метода оптимальной дискретизации очень сложна. Поэтому для практических целей желательно иметь универсальные координатные функции, применение которых возможно при не очень сложной аппаратуре, но которые в то же время обеспечивали бы близость дискретизации к оптимальной.