9.3 Общие сведения о методах дискретизации сигналов.

В самом общем виде дискретизацию реализации непрерывного сигнала на интервале временисовокупностью координат сигналаи последующее восстановление по ним исходного сигнала в виде его оценкиможно записать в виде:

где - оператор представления сигналасовокупностью координат,

- оператор восстановления сигнала путем получения его оценки по совокупности координат.

Разность

образует погрешность дискретизации и восстановления сигнала.

Операторы представления и восстановления могут быть линейными или нелинейными, причем одному и тому же оператору представления можно поставить в соответствие различные операторы восстановления и наоборот. Решение задачи дискретизации заключается в совместном выборе пары операторов и, которые при известных статистических свойствах сигналаобеспечивают заданную погрешность дискретизации.

Линейные операторы в большей степени соответствуют требованиям простоты схемной реализации, поэтому в дальнейшем ограничимся только линейной дискретизацией. Линейные операторы представления и восстановления в самом общем виде должны иметь следующий вид:

Здесь - весовые функции, определяющие значимость различных координат сигнала,

- базисные или координатные функции.

Здесь необходимо отметить, что координаты сигнала получаются путем взвешенного (в соответствии с весовыми функциями) интегрирования сигнала по интервалу дискретизации . Это приводит к уменьшению влияния шумов за счет их усреднения за тот же интервал времени. Плохо, однако, то, что координаты сигнала получаются с некоторой задержкой во времени, по крайней мере, на время дискретизации. Для устранения этого недостатка используются специальные алгоритмы экстраполяции сигнала.

В зависимости от выбора весовых функций координаты сигнала могут представлять собой различные образования.

а) Коэффициенты некоторого ряда, аппроксимирующего изменения сигнала в каждом периоде дискретизации. Это обобщенная дискретизация. В частном случае может быть . Тогда координаты сигнала – это спектральные коэффициенты сигнала в системе базисных функций, определяющих разложение сигналана интервалах дискретизациив обобщенный ряд Фурье. Вместо самого сигнала дальнейшим преобразованиям подвергается теперь последовательность его координат.

На рис. 9.3, сверху, изображена реализация сигналана интервале времени Т от нуля до 0.5 с. В средней части рисунка построены две копии отрезка сигнала на малом интервале времени от 0.2 до 0.25 с.

Внизу слева дискретизированный сигнал на каждом шаге дискретизации представлен двумя координатами, двумя первыми спектральными коэффициентами разложения сигнала на шаге дискретизации в ряд по системе базисных функций Лежандра.

б) Текущие мгновенные значения сигнала, то есть выборки его значений через промежутки времени .

Весовыми функциями в этом случае являются смещенные дельта – импульсы

в моменты отсчета сигнала . Выражение

определяет при этом дискретизацию выборками.

На рис. 9.3 внизу (справа) представлен результат дискретизации сигнала выборками при шаге дискретизации с моментами отсчета. Из рисунка ясно видно различие в этих двух видах дискретизации.

в) Конечные разности, то есть приращения значений сигнала в моменты отсчета. Используются разности различных порядков:

• разности первого порядка n = I:

• разности второго порядка (n = 2), то есть разности разностей первого порядка:

• разности n-того порядка, то есть разности разностей n-1-го порядка.

В этом общем случае весовыми функциями будут линейные комбинации  - функций:

,

где - число возможных сочетаний изn по k. При дискретизации разностями 1-го порядка

.

Восстановление сигнала ведется в два этапа. На первом этапе по конечным разностям вычисляются значения последовательных выборок, а затем по выборкам находится оценка исходного сигнала.

Разностная дискретизация удобна тем, что разности лежат в меньших диапазонах, чем сам сигнал. При очень малых интервалах дискретизации разности могут не превышать шага квантования сигнала по уровню. В этом случае разности говорят только о знаке изменения сигнала и могут принимать только два значения: -1 или +1. Здесь мы получаем следующий вид дискретизации.

г) Дельта - дискретизация разностями n -того порядка.

Такого рода дискретизация обладает целым рядом очевидных преимуществ, однако здесь появляются две новых составляющих погрешности дискретизации, связанных:

• с накоплением раз допущенных ошибок;

• с возможностью появления сигналов с аномально высокой скоростью изменения.

Восстановление сигнала при любых операторах представления осуществляется обобщенным полиномом

По отношению к исходному сигналу этот полином называется аппроксимирующим. В частном случае, когда в качестве координат сигнала используются выборки, а базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, этот полином называется интерполирующим.

При выбранном операторе представления задача восстановления сигнала сводится к выбору аппроксимирующего или интерполирующего полинома. При обобщенной дискретизация восстановление обычно ведется на основе аппроксимации, а при дискретизации по выборкам или разностям - путем интерполяции.