7.5 Фильтры высоких частот, полосовые и режекторные фильтры

Фильтры высоких частот служат для максимального подавления составляющих сигнала с частотой, меньшей частоты среза.

Если удалось спроектировать ФНЧ с частотой среза , то для построения ФВЧ с той же частотой среза достаточно выполнить следующие действия:

• заменить в схеме фильтра все емкости С на индуктивности ,

• заменить все индуктивности L конденсаторами с емкостями ,

• резисторы оставить без изменения.

Полосовой фильтр пропускает гармоники в некоторой полосе частот . Поэтому полосовой фильтр можно представить в виде последовательного соединения

• фильтра низких частот с частотой среза ,

• фильтра высоких частот с частотой среза , меньшей частоты.

Результат последовательного соединения таких фильтров дает амплитудно – частотную характеристику полосового фильтра (рис. 74).

На рис.74 представлены:

- АЧХ фильтра низких частот Чебышева 5-го порядка с частотой среза ,

- АЧХ такого же фильтра высоких частот, для которого частота среза была принята равной .

В результате их последовательного соединения был получен полосовой фильтр, амплитудно – частотная характеристика которого получается путем перемножения АЧХ исходных фильтров и изображена в правой части рис. 7.10. Из рисунка видно, что полученный полосовой фильтр имеет полосу прозрачности от 1500 рад / с до 2500 рад / с.

Режекторный фильтр можно получить путем параллельного соединения ФНЧ и ФВЧ, при этом для получения АЧХ режекторного фильтра АЧХ исходных фильтров нужно сложить. Необходимо только, чтобы, в противоположность предыдущему случаю, частота среза ФНЧ была меньше частоты среза ФВЧ (рис. 7.11).

Если полоса пропускания полосового фильтра должна быть по возможности узкой вокруг некоторой частоты, то можно использовать ФНЧ с частотой среза, но только в нем нужно будет произвести следующие изменения:

• индуктивности L заменить последовательными колебательными контурами с емкостью ,

• емкости С заменить на параллельные колебательные контуры с индуктивностями .

Подобные резонансные фильтры при высокой добротности колебательных контуров могут обладать очень узкой полосой пропускания вокруг резонансной частоты.

7.6 Постановка задачи оптимальной фильтрации

Все вышеописанные фильтры позволяют в больше или меньшей степени отфильтровать помеху только в том случае, когда спектральные плотности мощности сигнала и помехи лежат в достаточно далеко отстоящих друг от друга диапазонах частот, как это представлено на рис. 7.12.

В этом случае, пропустив аддитивную смесь сигнала и шума через фильтр нижних частот, то есть, умножив спектральную плотность мощности сигнала и шума на квадрат АЧХ фильтра, мы получим спектральную плотность мощности только сигнала (уже без шума, нижний график на рис.7.12).

Однако уже из этого примера видно, что спектр сигнала в области высоких частот, где располагался шум, будет все – таки немного искажен.

Еще более неприятная ситуация возникает в том случае, когда спектры сигнала и шума перекрывают друг друга, как это представлено на рис.7.13. Как бы мы не подбирали амплитудно – частотную характеристику фильтра, спектр сигнала оказывается сильно искаженным в области высоких частот.

Как уже было сказано в разделе 3.1, погрешность фильтрации находится как

где x(t) – информативный сигнал,

y(t) – результат фильтрации.

Будем считать, что x(t) и u(t) – реализации случайных стационарных сигналов X(t) и U(t) со спектральными плотностями мощности соответственно. Спектральная плотность мощностивыходного сигналаy(t) фильтра связана со спектральной плотностью мощности входного сигналаz(t) фильтра соотношением:

,

где - квадрат модуля амплитудно – частотной характеристики фильтра.

С учетом этих обстоятельств вычислим спектральную плотность мощности погрешности фильтрации:

Из полученного равенства следует, что суммарная погрешность фильтрации включает в себя две составляющие:

• собственная погрешность , возникающая в результате искажения фильтром самого сигналаx(t); эта составляющая погрешности тем меньше, чем ближе к единице АЧХ фильтра в полосе частот, занимаемых сигналом,

• вынужденная погрешность , возникающая как результат не полного подавления шума фильтром; эта составляющая погрешности тем меньше, чем ближе к нулю АЧХ фильтра в полосе частот, занимаемых шумом.

Дисперсию погрешности фильтрации можно теперь найти путем интегрирования по частоте ее спектральной плотности:

Тогда стандартное отклонение погрешности составит:

Задача оптимальной фильтрации заключается в отыскании такой амплитудно – частотной характеристики фильтра, при использовании которой для построения фильтра дисперсия суммы собственной и вынужденной погрешностей фильтрации обратится в минимум. Эту задачу можно решать в двух постановках:

1. Из анализа взаимного расположения спектров сигнала и шума выбрана структура фильтра, а значит – и его АЧХ, в выражение для которой входят некоторый параметры (частоты среза и порядок фильтра). Параметры фильтра следует теперь определить так, чтобы при выбранной структуре фильтра суммарная погрешность фильтрации обратилась в минимум. Это – задача параметрической оптимизации фильтра.

2. Заданы энергетические спектры сигнала и помехи. Необходимо найти структуру фильтра, то есть форму его АЧХ, при которой дисперсия суммарной погрешности фильтрации обратится в минимум. Это – задача структурной оптимизации, которая решается гораздо более сложно.

102