7.4 Фильтры нижних частот

Простейшим фильтром нижних частот является RC – фильтр, схема которого и его частотные характеристики представлены на рис. 68. Комплексная амплитуда Y(ω) выходного напряжения y(t) связана с комплексной амплитудой Z(ω) входного напряжения z(t) соотношением, обычным для схемы делителя напряжения:

.

АФЧХ фильтра составляет:

.

Произведение активного сопротивления фильтра на емкость конденсатора имеет размерность времени и называется постоянной времени T=RC, обратная величина образует круговую частоту среза. Соответствующая линейная частота равна. АЧХ и ФЧХ фильтра составляют соответственно:

,

.

Графики АЧХ и ФЧХ фильтра представлены на рис. 7.4 при частоте среза . При условииАЧХ фильтра принимает значение.

Диапазон частот от 0 до называется полосой пропускания или диапазоном прозрачности фильтра, диапазон частот отдо бесконечности образует полосу задержания. В полосе пропускания АЧХ фильтра изменяется в диапазоне от единицы до 0.707, в полосе задержания – от 0.707 до нуля.

Простейший RC – фильтр еще очень далек от идеального фильтра. Однако и такой фильтр способен в значительной степени повысить отношение «сигнал – шум».

Пусть, например, на вход фильтра подается сигнал в смеси с высокочастотным шумом , то есть

.

Мощность гармонического колебания равна половине квадрата амплитуды, поэтому отношение «сигнал – шум» равно 100. На выходе фильтра образуется сигнал:

Полезный сигнал немного уменьшился по амплитуде, но отношение «сигнал – шум» увеличилось до 400, то есть в четыре раз.

На рис. 7.5 изображен графиксигналав аддитивной смеси с шумом. Видно, что гармоника сильно искажена. Рядом нарисован выходной сигнал фильтра низких частот с граничной частотой- результат фильтрации. Получается почти чистая гармоника, но она запаздывает по времени относительно исходного сигнала. Это запаздывание равно постоянной времени фильтра, то есть 0.001 с.

Для более четкой фильтрации используются фильтры более высоких порядков. Наибольшее распространение получили следующие типы фильтров низких частот.

1.Фильтры Баттерворда – фильтры с максимально плоской амплитудно – частотной характеристикой в полосе пропускания. АЧХ фильтра Баттерворда порядка определяется выражением

,

где n – порядок фильтра. При усиление фильтра равноне зависимо от порядка фильтра. Поэтому АЧХ фильтров Баттерворда любого порядка проходят через одну и ту же точку, отделяющую полосу пропускания фильтра от полосы задержания (рис. 70).

На рис. 7.6 представлены графики АЧХ фильтров Баттерворда порядков при одной и той же частоте среза. Приn=1 имеем уже рассмотренный простейший RC – фильтр с довольно пологой характеристикой. По мере увеличения порядка фильтра крутизна спада его амплитудно – частотной характеристики возрастает, полосы пропускания и задержания вырисовываются все более четко.

Анализ графиков на рис. 7.6 позволяет также сделать вывод о том, что не имеет большого смысла повышать порядок фильтра выше четвертого, поскольку при больших порядках фильтра крутизна спада его АЧХ возрастает все более и более медленно.

Проектирование фильтра Баттерворда заключается в следующем:

• выбирается порядок фильтра в зависимости от требуемой крутизны спада его амплитудно – частотной характеристики,

• подбирается электронная схема построения фильтра,

• подбираются параметры схемы, при которых АЧХ фильтра совпадает с АЧХ фильтра Баттерворда соответствующего порядка.

Так на рис. 7.7 представлен активный фильтр низких частот 2-го порядка по схеме Саллена – Ку. Фильтр состоит из операционного усилителя AR3, охваченного соответствующим образом сформированными цепями положительной и отрицательной обратных связей. Емкости и сопротивления резисторов принимаются одинаковыми и равными С4=С5=C и R8=R9=R, сопротивления плеч делителя напряжения на выходе схемы принимаются равными R6 и R7=(α-1)·R6. АФЧХ фильтра Саллена – Ку имеет следующее выражение:

.

Вычислим амплитудно – частотную характеристику фильтра:

Для того, чтобы рассматриваемый фильтр стал фильтром Баттерворда 2-го порядка, необходимо, чтобы коэффициент при в знаменателе этого выражения обратился в нуль:

В этом случае амплитудно – частотная характеристика фильтра повторяет АЧХ фильтра Баттерворда 2-го порядка с частотой среза :

.

Уже из этого примера видно, что построение хорошего фильтра требует его точной регулировки (выбора соотношения плеч делителя напряжения R6, R7) и точной подгонки значений емкостей и сопротивлений. Еще более сложной задачей является построение и регулировка фильтров более высокого порядка. Поэтому редко используются фильтры Баттерворда порядка выше пятого.

2. Фильтры Чебышева 1-го рода.

Основой построения фильтров Чебышева являются полиномы Чебышевапорядкаn. Они замечательны тем, что на интервале значений переменной колеблются между –1 и +1 вне зависимости от порядка полиномов. Именно это обстоятельство, как мы увидим немного позднее, и позволяет построить фильтры с заранее заданными свойствами.

Первые шесть полиномов Чебышева имеют следующий вид:

Они изображены графически на рис. 7.8. Порядок полинома совпадает с его наивысшей степенью. С увеличением порядка полинома он приобретает все более колебательный характер, изменяясь от –1 до +1 и все более круто возрастая по мере приближения аргумента к единице.

Фильтром Чебышева 1-го рода порядка n называется фильтр, амплитудно – частотная характеристика которого описывается выражением

где ε – коэффициент, определяющий неравномерность амплитудно – частотной характеристики фильтра в полосе пропускания. В полосе пропускания АЧХ колеблется в диапазоне от 1 до , а за пределами полосы пропускания монотонно убывает до нуля. На рис. 7.9 представлены амплитудно – частотные характеристики фильтров Чебышева первых шести порядков при ε=0.4 для частоты среза. Видно, насколько велика крутизна спада АЧХ при частотах, больших частоты среза. Повышение порядка фильтра делает спад все более и более крутым, однако не имеет большого смысла увеличивать порядок фильтра свыше пятого.

Проектирование фильтра Чебышева заключается в следующем:

• выбирается частота среза и порядок фильтра в зависимости от требуемой крутизны спада его амплитудно – частотной характеристики,

• подбирается электронная схема построения фильтра,

• подбираются параметры схемы, при которых АЧХ фильтра совпадает с АЧХ фильтра Чебышева соответствующего порядка.

Так АЧХ фильтра Чебышева 2-го порядка должна иметь вид:

.

Если для построения фильтра использовать схему Саллена - Ку, представленную на рис. 71, с амплитудно – частотной характеристикой

,

то, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях частоты, получим:

,

Этих соотношений достаточно для определения всех параметров фильтра.

3. Фильтры Чебышева 2-го рода или инверсные фильтры Чебышева. Выражение для амплитудно – частотной характеристики фильтра имеет несколько иной вид:

.

Благодаря такой структуре амплитудно – частотная характеристика фильтра плавно спадает в полосе пропускания до значения и затухает до нуля, колеблясь в соответствии с характером изменения полинома Чебышева. На рис. 7.9 представлены амплитудно – частотные характеристики инверсных фильтров Чебышева первого, третьего и пятого порядков, построенные при ε=10 для частоты среза. В отличии от предыдущего случая полоса пропускания здесь гораздо меньше частоты среза и существенно зависит от порядка фильтра, но в области затухания АЧХ отличается от нуля не более, чем на.