7.3 Математическая модель линейного стационарного фильтра

Первичным описанием фильтра является его дифференциальное уравнение, связывающее между собой комбинацию входного сигнала и его производных с комбинацией выходного сигнала и его производных. Для линейного стационарного фильтра эти комбинации являются линейными формами с постоянными коэффициентами.

Однако такое описание слишком громоздко. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться исключительно передаточной функцией фильтра и его частотными характеристиками. Иногда придется обращаться и к импульсной переходной функции фильтра. Примем следующие обозначения:

• K(p) – передаточная функция фильтра, операторный коэффициент передачи, операторная чувствительность – отношение отображения Лапласа для выходного сигнала фильтра к отображению Лапласа для входного сигнала фильтра;

• K(ω) – амплитудно – фазовая частотная характеристика фильтра, комплексный коэффициент передачи, комплексная чувствительность – комплексное выражение, равное отношению образа Фурье для выходного сигнала к образу Фурье для входного сигнала фильтра;

• - модуль амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра или его амплитудно – частотная характеристика;

• - аргумент амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра или его фазовая частотная характеристика

• - импульсная переходная функция фильтра.

Импульсная переходная функция определяется как:

• результат обратного преобразования Лапласа для передаточной функции фильтра,

• результат обратного преобразования Фурье для амплитудно – фазовой частотной характеристики фильтра,

• реакция фильтра (его выходной сигнал) при подаче на вход воздействия в виде дельта – функции.

Если на вход фильтра подать напряжение в форме гармонического колебания

,

то сигнал на его выходе будет также гармоническим, но отличающимся от входного сигнала своей амплитудой и фазой, которые становятся функциями частоты входного гармонического сигнала:

.

Эти два соотношения позволяют следующим образом определить понятия частотных характеристик фильтра:

• АЧХ фильтра – амплитудно – частотная характеристика фильтра – зависимость от частоты входного гармонического сигнала отношения амплитуд выходного и входного сигналов,

• ФЧХ фильтра – фазовая частотная характеристика фильтра – зависимость от частоты входного гармонического сигнала фазового сдвига выходного сигнала относительно входного сигнала.

Любой абсолютно – интегрируемый входной сигнал имеет представление в форме отображения Фурье, то есть представим в виде бесконечно длинной суммы гармоник с различными частотами и бесконечно малыми, но различными амплитудами. Поэтому АФЧХ фильтра или комплекс из двух частотных характеристик - АЧХ и ФЧХ фильтра – полностью описывает работу линейного стационарного фильтра.

Если на вход фильтра с частотными характеристиками подается сигналz(t) со спектральной плотностью амплитуд и спектром фаз, то выходной сигнал будет обладать:

• спектральной плотностью амплитуд ,

• спектром фаз .

Если на вход фильтра подается реализация z(t) случайного стационарного сигнала Z(t) со спектральной плотностью мощности , то сигнал на выходе будет также случайным стационарным и иметь спектральную плотность мощности. Входной и выходной сигналы фильтра коррелированны друг с другом и их взаимный спектр совпадает с АФЧХ фильтра.