Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 11

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

194.56 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 11

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

— n-ная частичная сумма.

Сходимость[править | править исходный текст]

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости[править | править исходный текст]

Критерий Коши равномерной сходимости[править | править исходный текст]

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовал номер , такой, что при всех больше либо равных , одновременно для всех выполнялось неравенство

Абсолютная и условная сходимость[править | править исходный текст]

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд сходится, а расходится, то ряд называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности , где — произвольное множество, — метрическое пространство, сходиться к функции (отображению) , означающее, что для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство

Обычно обозначается .

Это условие равносильно тому, что

Признак Вейерштрасса

Рассмотрим ряд:

Пусть существует последовательность такая, что для любого выполняется неравенство , кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

Теорема. (почленное интегрирование ряда). Пусть ряд равномерно сходится к своей сумме на отрезке и все . Тогда .

Доказательство. Обозначим при произвольном , . Тогда - непрерывная функция и, т.к. по предыдущей теореме - непрерывная функция, - также непрерывная функция. Тогда . Для доказательства теоремы достаточно доказать, что при , т.к., по определению, . Но . Поэтому при и требуемое утверждение доказано.

Замечание. Для функциональных последовательностей эта теорема формулируется следующим образом: Пусть на . Пусть . Тогда .

Теорема. (о почленном дифференцировании ряда).

Пусть:

;
Ряд сходится на (и пусть его сумма обозначена );
Ряд равномерно сходится на

Тогда или, иными словами, .

Доказательство. Обозначим - сумму ряда . Тогда - непрерывная на функция. Поэтому существует ее интеграл от и он, по предыдущей теореме, равен . Значит, или .

Замечание. Соответствующая теорема для последовательностей может быть сформулирована так: Пусть . Пусть , и пусть , . Тогда , или .

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг — кругом сходимости.