HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 4

ЛЕКЦИЯ 4

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b] , если существуют постоянные α₁, α₂, ..., α_n , не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) + ... + α_ny_n(x) = 0для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке 

Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) из C_n-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a;b].

Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.

Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций: если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно обращается в нуль на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0. 

 

Обратное утверждение неверно: из равенства нулю определителя Вронского не следует линейная зависимость функций.

 Однако, если определитель Вронского функций отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a; b] , то функции линейно независимы.

 Это последнее утверждение — достаточное условие линейной независимости функций.

 

Определитель Вронского используют для исследования линейной зависимости функций: если хотя бы в одной точке W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠ 0, то функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x), линейно зависимы на [a;b]. Если же W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 то следует продолжить исследование линейной зависимости функций. Например, по определению.

(Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)  Конечная система векторов, содержащая более одного вектора, линейно зависима  она содержит вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.

_{Доказательство.  ().  Пусть система векторов}  линейно зависима и .  Это означает существование чисел , среди которых есть отличные от нуля, таких, что .   Пусть. Тогда ,  то есть вектор  линейно выражается через остальные векторы системы.

().  Пусть вектор  линейно выражается через остальные век­торы системы: . Тогда . Следовательно, система векторов  линейно зави­сима.   

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Справедливо следующее необходимое и достаточное условие линейной независимости решений этого уравнения.

Решения y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a; b] .

 

Для определителя Вронского W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [a; b] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:

− если W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) = 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a, b];

− если же W(x₀ ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠ 0, x₀∈[a, b], то W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≠0 на [a, b].