Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 7

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

192.51 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ 7

Система дифференциальных уравнений

где - искомые функции от t; - постоянные числа; - заданные

функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.

Такую систему методом исключения можно привести к одному линейному урав-нению не выше второго порядка. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.

Пример 1

Дифференцируем первое уравнение по t : . Подставляем сюда из

системы уравнений производные :

. Из первого уравне-ния системы , тогда

. Т .о., - линейное уравнение; решая его известным способом, найдем ; далее, находим из со-отношения

. Общее решение системы :

Решим задачу Коши с начальными данными : .

Линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

записывается в виде

где x_i(t) − неизвестные функции,

которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале [a, b]. Коэффициенты a_ij (t) и свободные члены f_i(t) представляют собой непрерывные функции,

заданные на интервале [a, b]. Используя векторно-матричные обозначения, данную систему уравнений можно записать как

где

В общем случае матрица A(t) и вектор-функции X(t), f(t) могут принимать как действительные,

так и комплексные значения. Соответствующая однородная система с переменными коэффициентами в векторной форме

имеет вид

Привести к каноническому виду систему дифференциальных уравнений

Решение. Данная система имеет третий порядок, так как и, значит, . Разрешая первое уравнение относительно , а второе относительно , получим каноническую систему

Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида

(3)

где — независимая переменная; — неизвестные функции от , называется нормальной системой.

Число называется порядком нормальной системы (3). Две системы дифференциальных уравнений называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Любую каноническую систему (2) можно привести к эквивалентной ей нормальной системе (3), причем порядок этих систем будет одним и тем же.

Задачей Коши для системы (3) называется задача нахождения решения

этой системы, удовлетворяющего начальным условиям

(4)

где — заданные числа.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений (3) и пусть функции , определены в некоторой n+1-мерной области изменения переменных . Если существует окрестность точки , в которой функции а) непрерывны, 6) имеют ограниченные частные производные по переменным , то найдется интервал изменения , в котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям (4).

Система дифференцируемых функций

(5)

независимой переменной и произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3), если: 1) при любых допустимых значениях система функций (5) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области, где выполняются условия теоремы Коши, функции (5) решают любую задачу Коши.

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения. Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

(1)

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

(2)

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение at второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n-го порядказаписывается в виде

где x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) − неизвестные функции переменной t, которая часто имеет смысл времени,a_ij − заданные постоянные коэффициенты, которые могут быть как действительными, так и комплексными,f_i(t) − заданные (в общем случае комплексные) функции переменной t. Будем считать, что все указанные функции являются непрерывными на некотором интервале [a, b]действительной числовой оси t. Полагая

систему дифференциальных уравнений можно переписать в матричной форме:

Если вектор f(t) тождественно равен нулю: , то система называется однородной:

Однородные системы уравнений с постоянными коэффициентами можно решать различными способами. Чаще всего используются следующие методы решений:

метод исключения (метод сведения системы n уравнений к одному уравнению n-го порядка);

метод интегрируемых комбинаций;

метод собственных значений и собственных векторов (включая метод неопределенных коэффициентов или использование жордановой формы в случае кратных корней характеристического уравнения);

метод матричной экспоненты.

Ниже на данной странице мы обсудим детально метод исключения. Другие способы решения систем уравнений рассматриваются отдельно на соответствующих страницах.

Метод исключения

Используя метод исключения, нормальную линейную систему n уравнений можно привести к одному линейному уравнению n-го порядка. Этот метод удобно использовать для решения простых систем − прежде всего, для систем 2-го порядка. Рассмотрим однородную систему двух уравнений с постоянными коэффициентами:

где функции x₁, x₂ зависят от переменной t. Продифференцируем первое уравнение и подставим производную x₂' из второго уравнения:

Из первого уравнения подставим a₁₂x₂. Получаем линейное однородное уравнение 2-го порядка:

Его решение легко построить, если известны корни характеристического уравнения:

В случае действительных коэффициентов a_ij корни могут быть как действительными (различными или кратными), так и комплексными. В частности, если коэффициенты a₁₂ и a₂₁ одного знака, то дискриминант характеристического уравнения всегда будет положительным и, соответственно, корни будут действительными и различными. После определения функции x₁(t) другую функцию x₂(t) можно найти из первого уравнения системы. Метод исключения можно применять не только к однородным линейным системам. Его можно использовать также для решения неоднородных систем дифференциальных уравнений или систем уравнений с переменными коэффициентами.

Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n. Определение. Многочлен n-ой степени

P()=det(A-Е) (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=х, (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением. Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=х, (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. Определение. Алгебраической кратностью собственного значения _jназывается кратность корня _j характеристического многочлена. Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов