HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 13

ЛЕКЦИЯ 13

Комплекснозначная функция[править | править исходный текст]

Комплекснозначная функция — функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:

.

Такая функция может быть представлена в виде

,

где  и  — вещественные функции. Функция  называется вещественной частью функции , а  — её мнимой частью.

Функция комплексного переменного[править | править исходный текст]

Это понятие — обобщение предыдущего варианта:

.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного, или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

,

однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция  была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

;

.

Примерами аналитических функций комплексного переменного являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа , комплексная часть , компексное сопряжение , модуль  и аргумент  аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

 функция f (x) = х^а, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. x^a. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то x^a не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция x^a равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х> 0 С. ф. — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (x^a)' = ax^a-1. Далее,

        

        , при a ≠ -1;

        

         в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.

         Функции вида у = cx^a, где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cx^a (см. рис. 3); например, у = cx² выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).

         В комплексной области С. ф. z^a определяется для всех z ≠ 0 формулой:

        

        , (*)

         где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z^a однозначна:

        

        .

         Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. z^a принимает q различных значений:

        

         где ε_k =  — корни степени q из единицы: k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z^a — бесконечнозначна: множитель ε^α2κπι принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. z^a определяется той же формулой (*). Например,

        

         так что, в частности, k = 0, ± 1, ± 2,....

         Под главным значением (z^a)₀ С. ф. понимается её значение при k = 0, если —π< argz ≤ π (или 0 ≤ argz < 2π). Так, (z^a)= |z^a|e^{ia arg z}, (i)₀=e ^-π/2 и т.д.

I Предел функции.

Определения и примеры.

Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E  R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом lim_x af(x) = A, если

 > 0 ()>0:  x: 0<|x-a|<  |f(x)-A|< 

Пример 1. Доказать, что lim_x 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

 >0  ()>0  x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<

должно быть выполнено неравенство

|2x+3-5|< или 2|x-1|<.

Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2 выполнится, если /2. Если  = 0,1, то  = 0,05 , при  = 0,01,  = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении , зависящего от .

Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке

Пусть f:E R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке). Функция  f(x) называется непрерывной в точке a, если

 U(f(a))  U(a) (f(U(a)) U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке – " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22 (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если  > 0 ()>0:  x удовлетворяющих условию |x-a|< , выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< 

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a) U(f(a)),  U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E R непрерывна в a E, где a- предельная точка E  lim_x af(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

lim_x af(x) = f(lim_x ax),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа  выполнено следующее равенство:

,

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции  и  следующим образом:

,

.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть , тогда:

,

.

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

является частным случаем формулы Эйлера при .

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию  в ряд Тейлора по степеням . Получим:

Но

Поэтому 

Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента^[1].

Формально, многозначная функция из множества  в множество  — бинарное отношение  между множествами  и  такое, что для любого  найдётся такой .

Многозначную функцию рассматривают также как подмножество-значную: каждому  ставится в соответствие множество , по определению, непустое. Обычные функции, рассматриваемые в качестве мультифункций, имеют значениями множества, состоящие ровно из одного элемента.