HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 1

ЛЕКЦИЯ 1

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

При решении многих задач математики, физики и техники часто не удается сразу установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Такое уравнение называется диффер­енциальным. Дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обязательно должно содержать одну или несколько производных искомой функции. Например, уравнения y¢+2y=0, y"+y¢cosx=lnx являются дифференциальными. Задача 1. Найти уравнение кривой, проходящей через точкуи обладающей следующим свойством: площадь трапеции OAMB (рис.1), ограниченной осями координат, касательной, проведенной в любой точке M(x,y) искомой кривой, и прямой, проходящей через точку M параллельно оси OY, равна 3 кв.ед. Рис. I Решение. Пусть M(x,y) – произвольная точка искомой кривой, уравнение кривой y=f(x). Площадь трапеции OAMB выражается формулой S=·.(OA+BM)·OB. Для того, чтобы составить дифференциальное уравнение, выразим отрезки OA, BM, OB через координаты текущей точки (x,y) и через производную y¢. Из рисунка замечаем BM=y и OA+BM-CM=BM-AC·tgOA+BM-CM. Подставляя эти выражения в формулу для площади трапеции, найдем  или . Это уравнение является дифференциальным уравнением. Его решение, т.е. нахождение неизвестной функции y=f(x), будет приведено в пункте I в.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и её производные , т. е. уравнение вида

Если искомая функция  есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным; например,

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение  — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где  — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение  — уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале  называется функция , определенная на интервале  вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции  в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по  на . Например, функция  является решением уравнения  на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Дифференциальные уравнения, разрешённые относительно производной

Самым простейшим дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида:

y′(x)=f(x),      (1)

где f(x) - заданная непрерывная на промежутке <a,b> функция. Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т.е. неопределенного интеграла)

y(x)=∫f(x)dx. 

Поскольку все первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой лишь на постоянную, то все решения уравнения (1) задаются формулой:

y(x)=∫f(x)dx+C    (2) 

Придадим формуле (2) иной вид. Пусть x0 - фиксированная точка промежутка <a,b>, тогда неопределенный интеграл можно представить в виде 

∫f(x)dx=∫xx0f(t)dt+C1    (3)

Подставляя (3) в (2), получим

y(x)=∫xx0f(t)dt+C+C1=∫xx0f(t)dt+C2    (4)

Формулы (2) или (4) содержит все первообразные для f(x), поэтому они содержат все решения дифференциального уравнения (1) . Таким образом, общее решение уравнения (1) определяется по формуле (2) или (4). 

Подставляя выражения  и  в дифференциальное уравнение, получим тождество

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши  

если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D   для всех x из [a, b] ,   y(x₀) = y₀ , x₀∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная   f_y(x, y)  непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ, x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши  

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ, x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения  

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семейство решений задачи Коши  

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) . 

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка

с правой частью, определённой в области y ≠ 0.

На рисунках приведены изображения поля направлений уравнения и поля направлений

с несколькими интегральными кривыми.

 

 

 

На рисунке видно, что в точках пересечения с осью абсцисс (y = 0) касательные к интегральным кривым

перпендикулярны оси 0y .

Это означает, в частности, что в этих точках скорость изменения решения возрастает до бесконечности.

Видно также, что по мере удаления точки (x, y(x)) ( x → ∞,y(x) → ∞)

скорость изменения решения стабилизируется —

есть основания предполагать, что интегральные кривые имеют наклонную асимптоту.

Метод изоклин для дифференциальных уравнений 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

определяет в каждой точке , где существует функция , значение , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если в каждой точке области  задано значение некоторой величины, то говорят, что в области  задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.

Тройка чисел  определяет направление прямой, проходящей через точку . Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление.Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением

где  — параметр. Придавая параметру  близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения (1).

Замечание 1. Нулевая изоклина  дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят  в силу уравнения (1):

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.