HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 3
.docЛЕКЦИЯ 3
Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
F (x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n)(x)) = 0,
где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.
Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:
y(n) = f(x, y, y ', y '', … , y(n − 1)).
|
|
Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.
Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
|
|
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, x>x0,
удовлетворяющего условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
|
|
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.
Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, называется частным решением.
Общим решением дифференциального уравнения
F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0
называется функция
y = Ф(x, С1, С2, … , Сn),
содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:
|
|
|
||
|
Линейное дифференциальное уравнение ~ Линейный дифференциальный оператор ~ Однородные линейные уравнения ~ Неоднородные линейные уравнения ~ Cвойства решений линейных уравнений ~ Принцип суперпозиции
Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b). Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка: L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y . Уравнения y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), f(x) № 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка. Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x). Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений: а) Если y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) при любых постоянных c1, c2 является решением однородного уравнения. б) Если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) - y2(x) является решением однородного уравнения L(y) = 0. в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения. Принцип суперпозиции: Если y1(x) и y2(x) — решения неоднородных линейных уравнений L(y) = f1(x) и L(y) = f2(x), то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения L(y) = f1(x) + f2(x). |
|
||
|
Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами |
|||
|
|
|||
|
Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
где коэффициенты a1(x), a2(x), ..., an(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b]. Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L:
где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты ai (x) и сложения. Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами: L[y1(x) + y2(x)] = L[y1(x)] + L[y2(x)]; L[Cy(x)] = CL[y(x)], где y1(x), y2(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число. Из свойств оператора L следует, что если функции y1, y2,..., yn являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида
где C1, C2,..., Cn − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y1, y2,..., yn образуют фундаментальную систему решений. |
|||
Теоретическая
справка
Определение линейного пространства
Пусть V -
непустое множество (его элементы будем
называть векторами и обозначать 
...),
в котором установлены правила:
1)
любым двум элементам 
соответствует
третий элемент 
называемый
суммой элементов 
(внутренняя
операция);
2)
каждому 
и
каждому 
отвечает
определенный элемент 
(внешняя
операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I. 
II. 
III. 
(нулевой
элемент, такой, что 
).
IV. 
(элемент,
противоположный элементу 
),
такой, что 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
Аналогично
определяется комплексное линейное
пространство (вместо R рассматривается C).
Подпространство линейного пространства
Множество 
называется
подпространством линейного пространства V,
если:
1) 
2) 