HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 5

Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид

где коэффициенты a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b].  Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L:

где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты a_i (x) и сложения.  Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами:

 L[y₁(x) + y₂(x)] = L[y₁(x)] + L[y₂(x)];

 L[Cy(x)] = CL[y(x)],

где y₁(x), y₂(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число.  Из свойств оператора L следует, что если функции y₁, y₂,..., y_n являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида

где C₁, C₂,..., C_n − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y₁, y₂,..., y_n образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений

Совокупность n линейно независимых частных решений y₁, y₂,..., y_n называется фундаментальной системойлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.  Функции y₁, y₂,..., y_n являются линейно независимыми на отрезке [a, b], если тождество

выполняется лишь при условии

где числа α₁, α₂,..., α_n одновременно не равны 0.  Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского иливронскиан:

Если функции y₁, y₂,..., y_n, дифференцируемые n − 1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [a, b], то выполняется тождество:

Соответственно, если эти функции линейно независимые на [a, b], то справедлива формула

Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y₁, y₂,y₃ через определитель в следующем виде:

Выражение для дифференциального уравнения n-го порядка записывается аналогично:

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение

,                                       (8)

где  – вещественные постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8):

                                                               (9)

Пусть - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи:

а) - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет ;

б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е. , тогда общее решение будет 

в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид .

Случай простых корней характеристического уравнения.

Теорема 2.1.1 Предположим, что характеристический многочлен L() уравнения

имеет только простые корни, которые обозначим через

Положим

Тогда при любых комплексных постоянных  функция

является решением уравнения (2.10). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.10) может быть получено по формуле (2.12) при надлежащем выборе постоянных .

Доказательство. Из предложения 2.1.1 (см. формулу (2.8)) следует, что каждая функция в (2.11) является решением уравнения (2.10), а из равенства

(где ₁,,_k - произвольные достаточно гладкие функции; ₁,,_k - произвольные константы) следует, что при любых комплексных постоянных  функция (2.12) также является решением рассматриваемого уравнения. Покажем, что если  - произвольное решение уравнения (2.10), то оно может быть представлено по формуле (2.12). Мы можем считать, что решение z_*(t) определено на всей прямой  < t < . Положим

Покажем теперь, что константы  в (2.12) могут быть выбраны такими, что решение z(t), определяемое формулой (2.12), удовлетворяет тем же самым начальным условиям:

Другими словами следует выбрать константы  так, чтобы выполнялись следующие равенства:

Эти соотношения представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных  и для того, чтобы она была разрешима достаточно, чтобы определитель матрицы

был отличен от нуля. Вычисляя элементы этой матрицы в соответствии с формулами (2.11), видим, что матрица (2.15) имеет вид

Так как все числа ₁,,_n попарно различны, то определитель матрицы (2.16) отличен от нуля ( детерминант Вандермонда). Теорема доказана.