HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 8

ЛЕКЦИЯ 8

Пусть положительные числа  - члены некоторой бесконечной числовой последовательности. Тогда выражение вида

 (1)

называется числовым рядом.

Здесь – общий член ряда, с помощью которого ряд (1) записывается в виде

Зная общий член ряда, можно записать ряд в форме (1). Так общим членом   задается числовой ряд

Рассмотрим для числового ряда (1) суммы его первых членов

Будем называть их частичными суммами и обозначим соответственно через

Если для некоторого числового ряда бесконечная последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то этот ряд называется сходящимся.

Этот предел называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет определенного предела, то ряд называется расходящимся и для него не существует суммы.

Числовой ряд  называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд  называется расходящимся.

Суммой сходящегося числового ряда  называется предел последовательности его частичных сумм, то есть, .

В нашем примере , следовательно, ряд сходится, причем его сумма равна шестнадцати третьим: .

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов. Признаки сравнения рядов Даны два ряда  и  − такие, что  для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:  Если  сходится, то  также сходится;  Если  расходится, то  также расходится. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда  и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: Если , то оба ряда  и  либо сходятся, либо расходятся; Если , то ряд  сходится, если сходится ряд ; Если , то ряд  расходится, если расходится ряд . Так называемый обобщенный гармонический ряд  сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Линейная комбинация рядов[править | править исходный текст]

Если ряды  и  сходятся, то сходится и ряд  (α, β — постоянные), при этом

Группировка членов ряда[править | править исходный текст]

Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Необходимое условие сходимости ряда:

Для сходимости ряда  необходимо, чтобы последовательность  была бесконечно малой.

Доказательство[править | править исходный текст]

По условию последовательность , а следовательно, и её остаток  имеют общий конечный предел , но  и поэтому , что равносильно бесконечной малости .

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной  от длины исходной струны

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.

Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

позволю себе добавить свой коммент на то что было написано неизвестным человеком выше итак

когда начинают жонглировать понятиями и формулировками Очень желательно также все излагать наглядно

ибо заходят люди(как я например)понятия не имеющие ни об n ни об натуральных числах

гармонический ряд это 1+1\2+1\3+1\4...и так далее где 1,2,3,4 ..называются натуральными числами и все они стоят по порядку в знаменателе пресловутого гармонического ряда(кому теперь непонятно о чем речь?)

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка[править | править исходный текст]

Если  и  есть строго положительные ряды и , то при  из сходимости  следует сходимость , а при  из расходимости  следует расходимость .

Доказательство[править | править исходный текст]

Если  то для достаточно больших 

Из ограниченности частных сумм  следует ограниченность частных сумм  Соотношения  обеспечивают на основании признака сравнения сходимость  и вместе с тем сходимость  Если же  то  и  не может сходиться при расходящемся