HaoZip RAR Архив_1 / ЛЕКЦИЯ 9

ЛЕКЦИЯ 9

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма[править | править исходный текст]

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если  ряд сходится, если  ряд расходится, если  вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство[править | править исходный текст]

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд  сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд  тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд  расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд  тоже расходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1.  (функция принимает неотрицательные значения)

2.  (функция монотонно убывает)

3.  (соответствие функции ряду)

Тогда ряд  и несобственный интеграл  сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода[править | править исходный текст]

Пусть выполнены условия:  и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ; функция ; . Тогда  сходится.

• Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .

• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.