4. «Квантование как проблема собственных значений»

Именно такое название носит знаменитая работа Шредингера по волновой механике. Смысл этого названия состоит в следующем.

Так как ψ-функция связана с вероятностными характеристиками, эта функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной и, кроме того, она должна иметь непрерывную и постоянную производную. Эти требования к ψ-функции получили название «стандартные условия».

Доказано, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях полной энергии частицы E. Эти значения энергии образуют ряд так называемыхсобственных значений.

ψ-функции, соответствующие этим собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

Покажем, что волновое уравнение Шредингера автоматически приводит к дискретности энергии частицы и к энергетическим уровням.

1. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Рассмотрим, какие энергии доступны частице, помещённой в ящик длиной aс бесконечно высокими стенками (рис. 14.1). Здесь частице позволено двигаться вдоль осиxна участке отx= 0 доx=a. Потенциальная энергия частицы внутри ящика равна 0 при 0 ≤ x ≤ aи бесконечна за пределами потенциальной ямы когдаx<a иx>a. Воспользуемся стационарным уравнением Шредингера:

(14.5)

Рис. 14.1.

Так как частица не может оказаться за пределами ямы (вероятность такого события равна 0), то ψ-функция вне ямы и на её границе равна нулю:

ψ(0) = ψ(l) = 0

Для частицы внутри потенциальной ямы, где U= 0, волновое уравнение принимает следующий вид:

(14.6)

Подобное дифференциальное уравнение хорошо известно из теории колебаний. Его решение

, где

Выясним значение констант kиa, воспользовавшись граничными условиями. При x = 0

ψ(0) =asina= 0.

Это означает, что a= 0.

Воспользуемся вторым граничным условием: при x= l,

Отсюда следует, что .

Вспомнив, что , получим набор собственных значений энергии:

. (14.7)

Так уравнение Шредингера ненасильственно приводит к дискретности энергии частицы в потенциальном ящике. Внутри потенциальной ямы частице доступны лишь вполне определённые значения энергии (рис. 14.2)

Рис. 14.2

Отыщем теперь собственные значения волновой функции .

Здесь осталось определить только амплитуду, для чего воспользуемся условием нормировки:

.

, поэтому

Теперь собственные функции можно представить так

(14.8)

a)b)

Рис 14.3

Графики собственных функций (а) и плотности вероятности (b) приведены на рис.14.3. Попробуйте проанализировать полученные результаты.

Например, при n= 2 вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, а приn = 1 эта вероятность максимальна!

2. Туннельный эффект

Рассмотрим с позиций квантовой механики ещё одну задачу: задачу о преодолении частицей потенциального барьера высоты U₀ (рис. 14.4). Частица, обладающая энергией E, движется вдоль оси x и встречает в точке x = 0 потенциальный барьер ширины l и высоты U₀.

Рис. 14.4

Классическая механика предлагает два возможных сценария взаимодействия частицы с барьером.

1. Если E > U₀, то частица просто минует барьер и продолжит движение в области ΙΙΙ.

2. Если E < U₀, то частица отражается от барьера и движется далее в обратном направлении (-x). Область в этом случае для неё будет категорически недосягаемой. Рассмотрим теперь как взаимодействует с потенциальным барьером квантовая частица - волна.

Стационарное уравнение Шредингера

учитывая линейность нашей задачи, можно упростить и записать в следующем виде.

Для областей IиIII, гдеU= 0

(14.9)

А для области 0 ≤ x≤l, т.е. внутри барьера (U=U₀)

(14.10)

Решение уравнений (14.9) и (14.10) подробно разобраны во многих пособиях (см. например [1]).

Мы ограничимся обсуждением конечного результата.

Решениями этих дифференциальных уравнений являются следующие функции.

Для области I

Для области III

Для области II

Здесь постоянные α и β определяются высотой барьера U₀и параметрами частицы волны:

Приведенные решения означают что в областях IиIIвозможны как волны, распространяющиеся в положительном направлении (e^iαx), так и в противоположном: (e^-iαx,e^-βx).

В зоне III, если там появляется частица волна, она распространяется только в положительном направлении осиx.

Отношение квадратов амплитуд отраженной волны (B₁) и падающей (A₁) называется коэффициентом отражения.

Отношение квадратов амплитуд волн, прошедшей в область III(A₃) и падающей на барьер (A₁), называется коэффициентом прохождения или прозрачности.

Расчёт показывает, что коэффициент прохождения

.

Физический смысл коэффициента прозрачности (D) – вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер из областиIв областьIII. Эта вероятность не бывает нулевой даже когда энергия частицыEменьше высоты барьераU₀.Квантовая частица в этом случае как бы «проникает сквозь барьер». Отсюда и название этого эффекта – туннельный эффект.

Интересно, что никогда не бывает равной нулю и вероятность отражения частицы-волна от барьера. Даже когда энергия (E) превышает уровень потенциального барьера (E>U₀)

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Том 2, 3. – М.: «Наука», 2003.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. - М.: «Наука», 1980.

3. Э. Вихман. Квантовая физика. – М.: «Наука», 1977.

4. Макс Борн. Атомная физика. – М.: «Наука», 1968.

5. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: «Высшая школа», 1990.

6. Марио Льоцци. История физики. – М.: «Мир», 1970

Содержание

Лекция 1 «Общие представления о волновых процессах» 2

Лекция 2 «Акустические волны» 11

Лекция 3 «Электромагнитные волны» 20

Итог лекции 3. 28

Лекция 4 «Интерференция волн» 29

Лекция 5 «Интерференция световых волн» 34

Лекция 6 «Интерференция волн» 41

Лекция 7 «Дифракция волн» 46

Лекция 8 «Дифракция волн» 54

Лекция 9 «Дифракционная решётка как спектральный прибор» 62

Лекция 10 «Экспериментальные основы квантовой механики» 67

Лекция 11 «Экспериментальные основы квантовой теории» 77

Лекция 12 «Боровская теория атома водорода» 85

Лекция 13 «Волновые свойства микрочастиц» 93

Лекция 14. «Уравнение Шредингера» 100

106